Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$, wobei $[KL]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $K$ links vom Punkt $L$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\quad\omega=45^\circ$.

Der Mittelpunkt der Kante $[EH]$ ist der Punkt $M$, der Mittelpunkt der Kante $[FG]$ ist der Punkt $N$. Für den Punkt $S$ auf $[MN]$ gilt: $\overline{SN}=2~cm$.

Punkte $P_n$ auf $[KS]$ bilden zusammen mit den Punkten $K$ und $L$ die Dreiecke $KLP_n$. Die Winkel $P_nLK$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0^\circ;74{,}05^\circ].$

Zeichnen Sie die Strecke $[MN]$, den Punkt $S$ sowie das Dreieck $KLP_1$ für $\varphi=45^\circ$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung (a) ein.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass der Winkel $LKS$ das Maß $60{,}26^\circ$ hat.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[LP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

Geben Sie die minimale Länge der Strecken $[LP_n]$ an.

Unter den Dreiecken $KLP_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $KLP_2$ mit der Basis $[KP_2]$. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[KP_2]$.

Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$ mit den Höhen $[P_nT_n]$ und $T_n$ auf der Strecke $[KL]$. Zeichnen Sie die Pyramide $ABCDP_1$ und ihre Höhe $[P_1T_1]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.

Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{104{,}20\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+60{,}26^\circ)}$ cm³.

Die Pyramide $BCGFP_3$ mit der rechteckigen Grundfläche $BCGF$ und der Spitze $P_3$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $ABCDP_3$.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$.