Teil B - lernen mit Serlo!

Das gleichschenklige Trapez $ABCD$ hat die parallelen Seiten $[AD]$ und $[BC]$ . Der Mittelpunkt der Seite $[AD]$ ist der Punkt $K$ , der Mittelpunkt der Seite $[BC]$ ist der Punkt $L$ . Das Trapez $ABCD$ ist die Grundfläche des geraden Prismas $ABCDEFGH$ (siehe Skizze). Der Punkt $E$ liegt senkrecht über dem Punkt $A$ .

Es gilt: $\overline{AD}=8~cm$ ; $\overline{BC}=12~cm$ ; $\overline{KL}=6~cm$ ; $\overline{AE}=7~cm$

Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ , wobei $[KL]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $K$ links vom Punkt $L$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q=\frac12;\quad\omega=45^\circ$ .

Lösung zu Teilaufgabe a
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Der Mittelpunkt der Kante $[EH]$ ist der Punkt $M$ , der Mittelpunkt der Kante $[FG]$ ist der Punkt $N$ . Für den Punkt $S$ auf $[MN]$ gilt: $\overline{SN}=2~cm$ .

Punkte $P_n$ auf $[KS]$ bilden zusammen mit den Punkten $K$ und $L$ die Dreiecke $KLP_n$ . Die Winkel $P_nLK$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in]0^\circ;74{,}05^\circ].$

Zeichnen Sie die Strecke $[MN]$ , den Punkt $S$ sowie das Dreieck $KLP_1$ für $\varphi=45^\circ$ in das Schrägbild zur Aufgabenstellung (a) ein.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass der Winkel $LKS$ das Maß $60{,}26^\circ$ hat.

Lösung zu Teilaufgabe b

Skizze des Schiefbilds mit der Geraden MN

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Punkt $M$ der Mittelpunkt der Strecke $[EH]$ und $N$ der Mittelpunkt der Strecke $[FG]$ ist.

Außerdem soll $S$ auf der Strecke $[MN]$ liegen, wobei $\overline{SN}=2 \, \text{cm}$ gilt.

Als Erstes kannst du also die Punkte $M$ und $N$ sowie die Strecke $[MN]$ einzeichnen.

Danach zeichnest du den Punkt $S$ genau $2\, \text{cm}$ links vom Punkt $N$ auf der Strecke $[MN]$ ein.

Jetzt kannst du den Winkel $\sphericalangle KLP_1=\varphi=45°$ in dein Schrägbild einzeichnen.

Nun musst du noch den Winkel $\sphericalangle LKS$ berechnen.

Dafür nutzt du die Tangensbeziehung

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Um die Tangensbeziehung verwenden zu können, benötigst du einen rechten Winkel. Um diesen zu erhalten, zeichnest du zunächst den Lotfußpunkt $S'$ von $S$ auf der Strecke $[KL]$ ein.

Der Punkt $S'$ liegt nun $2\, \text{(cm)}$ von $L$ entfernt.

Es gilt also $\overline{S'L}=2\, \text{cm}$ .

Mit $\overline{KL}=6\, \text{cm}$ folgt dann:

$\overline{KS'}=6\, \text{cm}-2\, \text{cm}=4 \, \text{cm}$

Vielleicht hast du bereits bemerkt, dass der Winkel $\sphericalangle LKS$ dem Winkel $\sphericalangle S'KS$ entspricht und dass die Strecke $[SS']$ genauso lang ist wie die Strecke $[AE]$ .

Es gilt also $\overline{SS'}=7 \, \text{cm}$ .

Anwenden der Tangensbeziehung liefert nun:

$\tan \left(\sphericalangle LKS\right)=\tan\left(\sphericalangle S'KS\right)=\dfrac{\overline{SS'}}{\overline{KS'}}=\dfrac{7}{4}=1{,}75$ .

Nun löst du die Gleichung nach dem Winkel $\sphericalangle LKS$ auf. Dafür benötigst du die Umkehrfunktion des Tangens, nämlich den Arcustangens.

Auflösen liefert ungefähr:

$\displaystyle \tan \left(\sphericalangle LKS\right)$	$=$	$\displaystyle 1{,}75$	$\displaystyle \arctan (\cdot )$
$\displaystyle \sphericalangle LKS$	$=$	$\displaystyle \arctan (1{,}75)$
	↓	Berechne.
	$=$	$\displaystyle 60{,}26^{\circ }$

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Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[LP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Geben Sie die minimale Länge der Strecken $[LP_n]$ an.

Lösung zu Teilaufgabe c

In dieser Teilaufgabe arbeitest du mit dem Sinussatz.

Zuerst betrachtest du das Dreieck $KLP_n$ und siehst, dass es nicht rechtwinklig ist. Daher kannst du in diesem Fall die Sinus-, Kosinus- und Tangensverhältnisse nicht verwenden.

Dafür ist der Sinussatz anwendbar. Dieser besagt, dass in einem Dreieck alle drei Verhältnisse "Seitenlänge dividiert durch Sinus des gegenüberliegenden Winkels" gleich sind:

$\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}$

In dieser Teilaufgabe gilt also mit dem Sinussatz:

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Die Innenwinkelsumme des Dreiecks $KLP_n$ beträgt immer $180^\circ$ .

Damit kannst du den Winkel $\sphericalangle KP_nL$ bestimmen.

Mit $\sphericalangle LKS=\sphericalangle LKP_n$ und $\varphi_1=\sphericalangle LKP_n$ gilt:

$\displaystyle \sphericalangle KP_nL$	$=$	$\displaystyle 180^\circ-\sphericalangle LKS-\sphericalangle P_nLK$
	$=$	$\displaystyle 180^\circ-\sphericalangle LKP_n-\sphericalangle P_nLK$
	$=$	$\displaystyle 180^\circ-\varphi_1-\sphericalangle P_nLK$

Nun löst du die obige Verhältnisgleichung nach $\overline{LP_n}$ auf:

$\displaystyle \dfrac{\overline{KL}}{\sin(\sphericalangle KP_nL)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{LP_n}}{\sin(\sphericalangle LKS)}$	$\displaystyle \cdot \sin\left(\sphericalangle LKS\right)$
$\displaystyle \overline{LP_n}$	$=$	$\displaystyle \sin\left(\sphericalangle LKS\right)\cdot\dfrac{\overline{KL}}{\sin\left(\sphericalangle KP_nL\right)}$
	↓	$\sphericalangle LKS=\sphericalangle LKP_n$
	$=$	$\displaystyle \sin\left(\sphericalangle LKP_n\right)\cdot\dfrac{\overline{KL}}{\sin\left(\sphericalangle KP_nL\right)}$

Jetzt kannst du dein Ergebnis aus Teilaufgabe b $\varphi_1=\sphericalangle LKP_n=60{,}26^\circ$ einsetzen.

Mit $\overline{KL}=6\, \text{(cm)}$ und obigem Ergebnis erhältst du für $\varphi=\sphericalangle P_nLK$ :

$\displaystyle \overline{LP_n}(\varphi )$	$=$	$\displaystyle \sin (60{,}26^{\circ })\cdot \frac{\overline{KL}}{\sin (180^{\circ }-60{,}26^{\circ }-\varphi )}$
	↓	Wende die Supplementbeziehung an.
	$=$	$\displaystyle \sin (60{,}26^{\circ })\cdot \frac{6}{\sin (60{,}26^{\circ }+\varphi )}$
	↓	Berechne
	$=$	$\displaystyle \dfrac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{cm}$

Hier hast du die allgemeingültige Supplementbeziehung $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin(\alpha)$ verwendet.

Die Länge $\overline{LP_n}(\varphi)$ nimmt ihren kleinsten Wert an, wenn der Nenner möglichst groß ist.

Gesucht ist also das $\varphi$ , für das $\sin(60{,}26^\circ+\varphi)$ möglichst groß ist.

Du weißt, dass der Sinus Werte zwischen $-1$ und $1$ annimmt. Der größtmögliche Wert des Sinus ist also $1$ .

Dieser Wert wird für den Winkel $90^\circ$ angenommen.

Für $90^\circ=60{,}26^\circ+\varphi$ folgt $\varphi=90^\circ-60{,}26^\circ=29{,}74^\circ$ .

Damit erhältst du

$\displaystyle\overline{LP_n}_\text{min}=\dfrac{5{,}21}{\sin(90^\circ)}=\dfrac{5{,}21}{1}=5{,}21\,\mathrm{cm}.$

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Unter den Dreiecken $KLP_n$ gibt es das gleichschenklige Dreieck $KLP_2$ mit der Basis $[KP_2]$ . Berechnen Sie die Länge der Strecke $[KP_2]$ .

Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$ mit den Höhen $[P_nT_n]$ und $T_n$ auf der Strecke $[KL]$ . Zeichnen Sie die Pyramide $ABCDP_1$ und ihre Höhe $[P_1T_1]$ in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
Zeigen Sie sodann rechnerisch, dass für das Volumen $V$ der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $V(\varphi)=\dfrac{104{,}20\cdot\sin\varphi}{\sin(\varphi+60{,}26^\circ)}$ cm³.

Lösungen zu Teilaufgabe e
Diese Aufgabe benötigt die Flächeninhaltsformel für Trapeze sowie die Volumenformel für Pyramiden.
Erinnere dich zunächst, dass das Volumen einer schiefen Pyramide mit dem einer geraden Pyramide mit gleicher Höhe übereinstimmt. Die Formel lautet daher
Dabei bezeichnet $G$ die Grundfläche und $h=\overline{P_nT_n}$ die Höhe.
Du benötigst also zunächst die Fläche des Trapezes $ABCD$ . Da $[KL]$ die Höhe des Trapezes ist, kannst du mit der Flächeninhaltsformel den Flächeninhalt der Grundfläche berechnen:
Nun musst du noch die Länge $\overline{P_nT_n}$ berechnen. Dazu wendest du die Sinusbeziehung auf das rechtwinklige Dreieck $T_nLP_n$ an:
Die Länge $\overline{LP_n}(\varphi)$ kennst du bereits aus Teilaufgabe c und kannst daher abschließend alles gesammelt in die Volumenformel der Pyramide einsetzen:
$\displaystyle V=\frac 13\cdot 60\cdot \sin(\varphi)\cdot\frac{5{,}21}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}=\frac{104{,}20\cdot\sin(\varphi)}{\sin(60{,}26^\circ+\varphi)}\,\mathrm{cm}^3$
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Die Pyramide $BCGFP_3$ mit der rechteckigen Grundfläche $BCGF$ und der Spitze $P_3$ hat dasselbe Volumen wie die Pyramide $ABCDP_3$ .

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ .

Lösung zu Teilaufgabe f

In dieser Teilaufgabe benötigst du erneut die Volumenformel von Pyramiden sowie die trigonometrischen Beziehungen.

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Grundfläche $BCGF$ der Pyramide ein Rechteck ist. Daher gilt für den Flächeninhalt:

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Für die Höhe musst du die Länge der Strecke $[P_3U]$ (siehe dazu die rechtsstehende Abbildung) berechnen. Hierbei ist $U$ der Lotfußpunkt von $P_3$ auf die Strecke $[NL]$ .

Es gilt $\overline{P_3U}=\overline{T_3L}$ .

Erinnere dich an die Kosinusbeziehung

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Löst du diese nach $\overline{T_3L}$ auf, so erhältst du $\overline{T_3L}=\cos(\varphi)\cdot\overline{LP_3}.$

Die Länge $\overline{LP_n}$ hast du bereits in Teilaufgabe c für jedes $n$ bestimmt:

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Diese Beziehung gilt selbstverständlich auch für $n=3$ und du setzt ein, um

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

zu erhalten.

Mit der Volumenformel für Pyramiden gilt also:

\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Dies setzt du mit dem in Teilaufgabe e berechneten Pyramidenvolumen gleich und löst die Gleichung nach $\varphi$ auf. Dafür benötigst du die Umkehrfunktion des Tangens, den Arcustangens. Um diesen zu verwenden, kannst du die Taste $\tan^{-1}$ auf deinem Taschenrechner benutzen. Damit erhältst du:

$\displaystyle \frac{84}{3}\cdot \cos (\varphi )\cdot \frac{5{,}21}{\sin (60{,}26^{\circ }+\varphi )}$	$=$	$\displaystyle \frac{104{,}20\cdot \sin (\varphi )}{\sin (60{,}26^{\circ }+\varphi )}$	$\displaystyle \cdot \sin (60{,}26^{\circ }+\varphi )$
$\displaystyle \frac{84}{3}\cdot 5{,}21\cdot \cos (\varphi )$	$=$	$\displaystyle 104{,}20\cdot \sin (\varphi )$	$\displaystyle :104{,}20$
$\displaystyle \frac{84\cdot 5{,}21}{3\cdot 104{,}20}\cdot \cos (\varphi )$	$=$	$\displaystyle \sin (\varphi )$	$\displaystyle :\cos (\varphi )$
$\displaystyle \frac{84\cdot 5{,}21}{3\cdot 104{,}20}$	$=$	$\displaystyle \frac{\sin (\varphi )}{\cos (\varphi )}$
	↓	Zusammenfassen.
$\displaystyle 1{,}4$	$=$	$\displaystyle \tan (\varphi )$	$\displaystyle \arctan (\cdot )$
$\displaystyle \varphi$	$=$	$\displaystyle \arctan (1{,}4)$
	$≈$	$\displaystyle 54{,}46°$

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$\displaystyle \overline{KP_2}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{LP_2}^2+\overline{KL}^2-2\cdot\overline{LP_2}\cdot\overline{KL}\cdot\cos(\sphericalangle KLP_2)$
	$=$	$\displaystyle \overline{KL}^2+\overline{KL}^2-2\cdot\overline{KL}^2\cdot\cos(\sphericalangle KLP_2)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\overline{KL}^2-2\cdot\overline{KL}^2\cdot\cos(\sphericalangle KLP_2)$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \overline{KL}^2\cdot \left(1-\cos (180°-2\cdot 60{,}26°)\right)$

Lösung zu Teilaufgabe a

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Lösung zu Teilaufgabe b

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Lösung zu Teilaufgabe c

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Lösung zu Teilaufgabe d

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Lösungen zu Teilaufgabe e

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Lösung zu Teilaufgabe f

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