Teil B - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = {0,75}^{x + 2} - 3 (𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .

Geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f_{1}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 9; 4]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $- 9 \leq x \leq 5; - 4 \leq y \leq 8$
Lösung zur Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe beschäftigst du dich mit dem Definitions- und Wertebereich einer Exponentialfunktion.
Wie du vielleicht weißt, ist der maximale Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ganz $ℝ$ .
Der maximale Wertebereich einer Exponentialfunktion $f (b) = a^{b}$ ist
$ℝ^{+}$ falls $a > 0$ und
$ℝ^{-}$ falls $a < 0$ .
An der $- 3$ in der Funktionsgleichung siehst du, dass die Exponentialfunktion $f_{1} : y = {0,75}^{x + 2} - 3$ im Vergleich zur Funktionsgleichung $y = {0,75}^{x + 2}$ lediglich um $3$ Einheiten nach unten verschoben ist.
Es gilt also ebenfalls $𝔻 = ℝ$ .
Da bei der Exponentialfunktion $y = {0,75}^{x + 2}$ die Basis $a = 0,75$ größer als Null ist, ist der maximale Wertebereich von $y = {0,75}^{x + 2}$ durch $ℝ^{+}$ gegeben.
Folglich ist $𝕎 = {y | y > - 3}$ der Wertebereich der um drei Einheiten nach unten verschobenen Funktion $f_{1} : y = {0,75}^{x + 2} - 3$ .
Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.
Eine mögliche Wertetabelle ist:
Wertetabelle der ersten Funktion
Nun kannst du den Graphen der Funktion $f_{1}$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Skizze der ersten Funktion
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Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = - 2$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y = - 2 \cdot {0,75}^{x + 4} + 7$ besitzt $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 9,4]$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
Zunächst wendest du die orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und $k = - 2$ als Affinitätsmaßstab auf die Funktion $f_{1}$ an. Dann folgt
$(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - 2 \cdot ({0,75}^{x + 2} - 3) \end{array})$
und damit
$y^{'} = - 2 \cdot {0,75}^{x^{'} + 2} + 6$ .
Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array})$ liefert
$(\begin{array}{c} x^{''} \\ y^{''} \end{array}) = (\begin{array}{c} x^{'} \\ - 2 \cdot {0,75}^{x^{'} + 2} + 6 \end{array}) + (\begin{array}{c} - 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} x^{'} - 2 \\ - 2 \cdot {0,75}^{x^{'} + 2} + 7 \end{array})$
.
Es gilt also $y^{''} = - 2 \cdot {0,75}^{x^{'} + 2} + 7$ .
Mit $x^{''} = x^{'} - 2$ folgt $x^{'} = x^{''} + 2$ und damit
$y^{''} = - 2 \cdot {0,75}^{x^{''} + 4} + 7$ .
Insgesamt folgt also:
$f_{2} : y = - 2 \cdot {0,75}^{x + 4} + 7$
Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.
Eine mögliche Wertetabelle ist:
Wertetabelle der zweiten Funktion
Nun kannst du die Funktion $f_{2}$ in dein Koordinatensystem einzeichnen.
Skizze der beiden Funktionen
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Punkte $A_{n} (x | {0,75}^{x + 2} - 3)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $C_{n} (x | - 2 \cdot {0,75}^{x + 4} + 7)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind für $x > - 6,61$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Strecken $[A_{n} C_{n}]$ liegen auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Es gilt: $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$
Zeichnen Sie das Drachenviereck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 5$ und das Drachenviereck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 1$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

Lösung zur Teilaufgabe c
In dieser Teilaufgabe berechnest du Punkte eines Drachenvierecks und zeichnest diese anschließend in ein Koordinatensystem ein.
Nun sollst du die beiden Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dafür musst du die Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ und $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ bestimmen.
Um den Punkt $A_{1}$ zu berechnen, setzt du $x = - 5$ in $A_{n} (x | {0,75}^{x + 2} - 3)$ ein und erhältst ungefähr $A_{1} (- 5 | - 0,63)$ . Für den Punkt $C_{1}$ setzt du $x = - 5$ in $C_{n} (x | - 2 \cdot {0,75}^{x + 4} + 7)$ ein und erhältst den gerundeten Punkt $C_{1} (- 5 | 4,33)$ .
Die Punkte $A_{2}$ und $C_{2}$ berechnest du analog, indem du $x = 1$ in $A_{n} (x | {0,75}^{x + 2} - 3)$ und $C_{n} (x | - 2 \cdot {0,75}^{x + 4} + 7)$ einsetzt.
Dies liefert ungefähr $A_{2} (1 | - 2,58)$ und $C_{2} (1 | 6,53)$ .
Außerdem weißt du aus der Angabe, dass $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ gilt, insbesondere also auch $\vec{A_{1} B_{1}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ und $\vec{A_{2} B_{2}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ .
Damit erhältst du die gerundeten Ergebnisse
$\vec{B_{1}} = \vec{A_{1}} + (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 5 \\ - 0,63 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 2 \\ 1,37 \end{array}) \Rightarrow B_{1} (- 2 | 1,37)$
sowie
$\vec{B_{2}} = \vec{A_{2}} + (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2,58 \end{array}) + (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 4 \\ - 0,58 \end{array}) \Rightarrow B_{2} (4 | - 0,58)$
Laut Angabe gilt zudem, dass $[A_{n} C_{n}]$ auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ liegen, insbesondere liegen also auch $[A_{1} C_{1}]$ auf $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $[A_{2} C_{2}]$ auf $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .
Folglich liegen $D_{1}$ und $D_{2}$ bezüglich der Symmetrieachsen $[A_{1} C_{1}]$ bzw. $[A_{2} C_{2}]$ symmetrisch zu $B_{1}$ bzw. $B_{2}$ . Dies bedeutet, dass $B_{n}$ und $D_{n}$ jeweils die gleichen $y$ -Koordinaten haben. Du erhältst $D_{n}$ also, indem du $B_{n}$ an der im Bild rot gestrichelten Spiegelachse $A_{n} C_{n}$ spiegelst.
Nun kannst du alle Punkte und anschließend die Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dies sollte wie folgt aussehen:
Skizze der Funktionen und Drachenvierecke
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Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A_{n} C_{n} (x) = (- 2,125 \cdot {0,75}^{x + 2} + 10)$ LE.

Unter den Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt es die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ .

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $B_{3}$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A (x) = (- 6,375 \cdot {0,75}^{x + 2} + 30)$ FE.
Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt aller Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gilt: $A < 30$ FE.

Lösung zur Teilaufgabe f
In dieser Aufgabe berechnest du den Flächeninhalt eines Drachenvierecks.
Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks $A B C D$ wird durch $A = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{A C \cdot B D}{2}$ berechnet.
Skizze eines Drachenvierecks
Nun kannst du den Flächeninhalt der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ berechnen:
In Teilaufgabe B. 1.4 hast du $A_{n} C_{n} (x) = [- 2,125 \cdot {0,75}^{x + 2} + 10] (LE)$ berechnet.
Weil $D_{n}$ bezüglich der Symmetrieachse $[A_{n} C_{n}]$ symmetrisch zu $B_{n}$ ist und $\vec{A_{n} B_{n}} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array})$ gilt, folgt $B_{n} D_{n} = 6 (LE)$
Damit erhältst du
$A (x)$ $=$ $\frac{(- 2,125 \cdot {0,75}^{x + 2} + 10) \cdot 6}{2}$
↓
Löse die Klammer auf.
$=$ $\frac{- 12,75 \cdot {0,75}^{x + 2} + 60}{2}$
↓
Kürze.
$=$ $- 6,375 \cdot {0,75}^{x + 2} + 30$
Es ist also $A (x) = - 6,375 \cdot {0,75}^{x + 2} + 30 (FE)$ .
Da der Termwert von $- 6,375 \cdot {0,75}^{x + 2}$ für alle $x \in ℝ$ negativ ist, gilt für den Flächeninhalt der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ immer $A < 30 (FE)$ . Insbesondere gilt dies also auch für alle $x > - 6,61$ .
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video noch eine Schritt-für-Schritt-Lösung der Aufgabe ansehen.
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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

$A_{n} C_{n} (x)$	$=$	$[- 2 \cdot {0,75}^{x + 4} + 7 - ({0,75}^{x + 2} - 3)]$
	↓	Ersetze $x + 4$ durch $x + 2 + 2$ .
	$=$	$[- 2 \cdot {0,75}^{x + 2 + 2} + 7 - ({0,75}^{x + 2} - 3)]$
	↓	${0,75}^{x + 2 + 2} = {0,75}^{x + 2} \cdot {0,75}^{2}$
	$=$	$[- 2 \cdot {0,75}^{2} \cdot {0,75}^{x + 2} + 7 - ({0,75}^{x + 2} - 3)]$
	↓	Vereinfache
	$=$	$[- 1,125 \cdot {0,75}^{x + 2} + 7 - ({0,75}^{x + 2} - 3)]$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$[- 1,125 \cdot {0,75}^{x + 2} + 7 - 1 \cdot {0,75}^{x + 2} + 3]$
	↓	Klammere ${0,75}^{x + 2}$ aus
	$=$	$[{0,75}^{x + 2} \cdot (- 1,125 - 1) + 7 + 3]$
	↓	Vereinfache
	$=$	$[- 2,125 \cdot {0,75}^{x + 2} + 10]$

$- 2,125 \cdot {0,75}^{x + 2} + 10$	$=$	$4$	$- 10$
$- 2,125 \cdot {0,75}^{x + 2}$	$=$	$- 6$	$: (- 2,125)$
${0,75}^{x + 2}$	$=$	$\frac{- 6}{- 2,125}$	$\ln (\cdot)$
$\ln ({0,75}^{x + 2})$	$=$	$\ln (\frac{- 6}{- 2,125})$
	↓	Wende Rechenregel des $\ln$ an.
$(x + 2) \cdot \ln (0,75)$	$=$	$\ln (\frac{- 6}{- 2,125})$	$: \ln (0,75)$
$(x + 2)$	$=$	$\frac{\ln (\frac{- 6}{- 2,125})}{\ln (0,75)}$	$- 2$
$x$	$=$	$\frac{\ln (\frac{- 6}{- 2,125})}{\ln (0,75)} - 2$
	↓	Vereinfache
	$=$	$- 5,60811 \dots$
	↓	Runde
	$\approx$	$- 5,61$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe d

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Lösung zur Teilaufgabe e

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Lösung zur Teilaufgabe f

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$A (x)$	$=$	$\frac{(- 2,125 \cdot {0,75}^{x + 2} + 10) \cdot 6}{2}$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\frac{- 12,75 \cdot {0,75}^{x + 2} + 60}{2}$
	↓	Kürze.
	$=$	$- 6,375 \cdot {0,75}^{x + 2} + 30$