Teil B - lernen mit Serlo!

Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y=0{,}75^{x+2}-3~~(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ .

Geben Sie die Definitions- und Wertemenge der Funktion $f_{1}$ an.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x\in[-9;4]$ in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; $-9\le x\le 5;~~-4\le y\le 8$
Lösung zur Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe beschäftigst du dich mit dem Definitions- und Wertebereich einer Exponentialfunktion.
Wie du vielleicht weißt, ist der maximale Definitionsbereich einer Exponentialfunktion ganz $\mathbb{R}$ .
Der maximale Wertebereich einer Exponentialfunktion $f (b) = a^{b}$ ist
$\mathbb{R}^+$ falls $a > 0$ und
$\mathbb{R}^-$ falls $a < 0$ .
An der $- 3$ in der Funktionsgleichung siehst du, dass die Exponentialfunktion $f_1: y=0{,}75^{x+2}-3$ im Vergleich zur Funktionsgleichung $y=0{,}75^{x+2}$ lediglich um $3$ Einheiten nach unten verschoben ist.
Es gilt also ebenfalls $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ .
Da bei der Exponentialfunktion $y=0{,}75^{x+2}$ die Basis $a = 0,75$ größer als Null ist, ist der maximale Wertebereich von $y=0{,}75^{x+2}$ durch $\mathbb{R}^+$ gegeben.
Folglich ist $\mathbb{W}=\{y\,|\,y>-3\}$ der Wertebereich der um drei Einheiten nach unten verschobenen Funktion $f_1: y=0{,}75^{x+2}-3$ .
Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.
Eine mögliche Wertetabelle ist:
Wertetabelle der ersten Funktion
Nun kannst du den Graphen der Funktion $f_{1}$ in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Skizze der ersten Funktion
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Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch orthogonale Affinität mit der x-Achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsmaßstab $k = - 2$ sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion $f_{2}$ die Gleichung $y=-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7$ besitzt $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$ und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x\in[-9{,}4]$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

Lösung zur Teilaufgabe b
Zunächst wendest du die orthogonale Affinität mit der $x$ -Achse als Affinitätsachse und $k = - 2$ als Affinitätsmaßstab auf die Funktion $f_{1}$ an. Dann folgt
$\displaystyle \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\-2\cdot (0{,}75^{x+2}-3)\end{pmatrix}$
und damit
$y'=-2 \cdot 0{,}75^{x'+2}+6$ .
Parallelverschiebung mit dem Vektor $\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ liefert
$\displaystyle \begin{pmatrix}x''\\y''\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'\\-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'-2\\-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+7\end{pmatrix}$
.
Es gilt also $y''=-2\cdot 0{,}75^{x'+2}+7$ .
Mit $x^{''} = x^{'} - 2$ folgt $x^{'} = x^{''} + 2$ und damit
$y''=-2\cdot0{,}75^{x''+4}+7$ .
Insgesamt folgt also:
$\displaystyle f_2:y=-2\cdot0{,}75^{x+4}+7$
Um den Graphen der Funktion in das Koordinatensystem einzuzeichnen, berechnest du zunächst einige Punkte, die du anschließend in ein Koordinatensystem eintragen kannst.
Eine mögliche Wertetabelle ist:
Wertetabelle der zweiten Funktion
Nun kannst du die Funktion $f_{2}$ in dein Koordinatensystem einzeichnen.
Skizze der beiden Funktionen
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Punkte $A_n(x|0{,}75^{x+2}-3)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ und Punkte $C_n(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ haben dieselbe Abszisse $x$ und sind für $x > - 6,61$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $D_{n}$ die Eckpunkte von Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Strecken $[A_{n} C_{n}]$ liegen auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ .
Es gilt: $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$
Zeichnen Sie das Drachenviereck $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 5$ und das Drachenviereck $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 1$ in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) ein.

Lösung zur Teilaufgabe c
In dieser Teilaufgabe berechnest du Punkte eines Drachenvierecks und zeichnest diese anschließend in ein Koordinatensystem ein.
Nun sollst du die beiden Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dafür musst du die Punkte $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ und $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ bestimmen.
Um den Punkt $A_{1}$ zu berechnen, setzt du $x = - 5$ in $A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)$ ein und erhältst ungefähr $A_1\left(-5|-0{,}63\right)$ . Für den Punkt $C_{1}$ setzt du $x = - 5$ in $C_n\left(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7\right)$ ein und erhältst den gerundeten Punkt $C_1\left(-5|4{,}33\right)$ .
Die Punkte $A_{2}$ und $C_{2}$ berechnest du analog, indem du $x = 1$ in $A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)$ und $C_n\left(x|-2\cdot 0{,}75^{x+4}+7\right)$ einsetzt.
Dies liefert ungefähr $A_2\left(1|-2{,}58\right)$ und $C_2\left(1|\, 6{,}53\right)$ .
Außerdem weißt du aus der Angabe, dass $\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ gilt, insbesondere also auch $\overrightarrow{A_1B_1}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{A_2B_2}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ .
Damit erhältst du die gerundeten Ergebnisse
$\displaystyle \overrightarrow{B_1}=\overrightarrow{A_1}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\-0{,}63\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1{,}37\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;B_1\left(-2\, |\,1{,}37\right)$
sowie
$\displaystyle \overrightarrow{B_2}=\overrightarrow{A_2}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2{,}58\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-0{,}58\end{pmatrix}\;\Rightarrow\;B_2\left(4\, |\,-0{,}58\right)$
Laut Angabe gilt zudem, dass $[A_{n} C_{n}]$ auf den Symmetrieachsen der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ liegen, insbesondere liegen also auch $[A_{1} C_{1}]$ auf $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $[A_{2} C_{2}]$ auf $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ .
Folglich liegen $D_{1}$ und $D_{2}$ bezüglich der Symmetrieachsen $[A_{1} C_{1}]$ bzw. $[A_{2} C_{2}]$ symmetrisch zu $B_{1}$ bzw. $B_{2}$ . Dies bedeutet, dass $B_{n}$ und $D_{n}$ jeweils die gleichen $y$ -Koordinaten haben. Du erhältst $D_{n}$ also, indem du $B_{n}$ an der im Bild rot gestrichelten Spiegelachse $A_{n} C_{n}$ spiegelst.
Nun kannst du alle Punkte und anschließend die Drachenvierecke $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ und $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ in dein Koordinatensystem einzeichnen. Dies sollte wie folgt aussehen:
Skizze der Funktionen und Drachenvierecke
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Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Strecken $[A_{n} C_{n}]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $\overline{A_nC_n}(x)=(-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10)$ LE.

Unter den Drachenvierecken $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gibt es die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ .

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $B_{3}$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.

Lösung zur Teilaufgabe e

In dieser Teilaufgabe berechnest du die Koordinaten eines Punktes einer Raute.

Für die Raute $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ gilt $\overline{A_3C_3}=4\, (\mathrm{LE})$ .

Aus Teilaufgabe d weißt du, dass $\overline{A_nC_n}(x)=[-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10]\, (\mathrm{LE})$ gilt.

Damit folgt nun $-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10=4$

Jetzt kannst du die Gleichung nach $x$ auflösen. Dafür benötigst du die Rechenregeln des $\ln$ .

Auflösen liefert:

$\displaystyle -2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -10$
$\displaystyle -2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}$	$=$	$\displaystyle -6$	$\displaystyle :(-2{,}125)$
$\displaystyle 0{,}75^{x+2}$	$=$	$\displaystyle \frac{-6}{-2{,}125}$	$\displaystyle \ln (\cdot )$
$\displaystyle \ln \left(0{,}75^{x+2}\right)$	$=$	$\displaystyle \ln \left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)$
	↓	Wende Rechenregel des $\ln$ an.
$\displaystyle (x+2)\cdot \ln \left(0{,}75\right)$	$=$	$\displaystyle \ln \left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)$	$\displaystyle :\ln (0{,}75)$
$\displaystyle (x+2)$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)}{\ln \left(0{,}75\right)}$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln \left(\frac{-6}{-2{,}125}\right)}{\ln \left(0{,}75\right)}-2$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle -5{,}60811\dots$
	↓	Runde
	$\approx ≈$	$\displaystyle -5{,}61$

Die $x$ -Koordinate des Punktes $A_{3}$ ist also $x = - 5,61$ .

Die $y$ -Koordinate von $A_{3}$ erhältst du durch Einsetzen von $x = - 5,61$ in $A_n\left(x|\, 0{,}75^{x+2}-3\right)$ .

Dies liefert $0{,}75^{-5{,}61+2}-3=-0{,}174932=-0{,}17$ als $y$ -Koordinate.

Mit $\overrightarrow{A_3B_3}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ folgt nun

\displaystyle \overrightarrow{OB_3}=\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{A_3B_3}=\begin{pmatrix}-5{,}61\\-0{,}17\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2{,}61\\1{,}83\end{pmatrix}.

Damit ist der Punkt $B_{3}$ durch $B_3 \left(-2{,}61\, |\, 1{,}83\right)$ gegeben.

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Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt $A$ der Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: $A(x)=(-6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}+30)$ FE.

Begründen Sie sodann, dass für den Flächeninhalt aller Drachenvierecke $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ gilt: $A < 30$ FE.

$\displaystyle A(x)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10\right)\cdot 6}{2}$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle \frac{-12{,}75\cdot 0{,}75^{x+2}+60}{2}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle -6{,}375\cdot 0{,}75^{x+2}+30$

Lösung zur Teilaufgabe a

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Lösung zur Teilaufgabe b

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Lösung zur Teilaufgabe c

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Lösung zur Teilaufgabe d

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Lösung zur Teilaufgabe e

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Lösung zur Teilaufgabe f

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$\displaystyle \overline{A_nC_n}(x)$	$=$	$\displaystyle [-2\cdot0{,}75^{x+4}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]$
	↓	Ersetze $x + 4$ durch $x + 2 + 2$ .
	$=$	$\displaystyle [-2\cdot0{,}75^{x+2+2}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]$
	↓	$0{,}75^{x+2+2}=0{,}75^{x+2}\cdot0{,}75^2$
	$=$	$\displaystyle [-2\cdot0{,}75^2\cdot0{,}75^{x+2}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle [-1{,}125\cdot0{,}75^{x+2}+7-(0{,}75^{x+2}-3)]$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$\displaystyle [-1{,}125\cdot0{,}75^{x+2}+7-1\cdot0{,}75^{x+2}+3]$
	↓	Klammere $0{,}75^{x+2}$ aus
	$=$	$\displaystyle [\, 0{,}75^{x+2}\cdot (-1{,}125-1)+7+3]$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle [-2{,}125\cdot 0{,}75^{x+2}+10]$