Teil A - lernen mit Serlo!

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Punkte für Aufgabe 3.1: 2 P

Punkte für Aufgabe 3.2: 3 P

Lösung zu A3.1

Berechne die Streckenlänge $F M$

Verwende, dass das Dreieck BFM rechtwinklig ist.

Die Streckenlänge $B M = 4,5 cm$ im Dreieck ist gegeben.

Ebenso der Winkel $∢ B F M = 77 °$ .

Verwende den Tangens im rechwinklingen Dreieck, um die Seitenlänge $F M$ zu berechnen.

Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber, die Ankathete direkt am Winkel.

Also ist $F M$ die Ankathete und $B M$ die Gegenkathete.

$t a n (∢ B F M)$	$=$	$\frac{B M}{F M}$	$\cdot F M$
$t a n (∢ B F M) \cdot F M$	$=$	$B M$	$: t a n (∢ B F M)$
$F M$	$=$	$\frac{B M}{t a n (∢ B F M)}$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\frac{4,5}{t a n (77^{\circ})}$
	$=$	$1,04 cm$

Berechne die Streckenlänge $G N$

Verwende den Vierstreckensatz für die Strecken $F M$ , $G N$ , $B M$ und $B N$

Gegeben ist: $B M = 4,5 cm$

Außerdem ist bekannt: $A N = B N$ wobei aufgrund der Achsensymmetrie des Axialschnitts gilt:

A N = A C : 2 = 5 cm : 2 = 2,5 cm

Du hast gerade berechnet: $F M = 1,04 cm$

Forme den Vierstreckensatz nach $G N$ um:

$\frac{G N}{F M}$	$=$	$\frac{B N}{B M}$	$\cdot F M$
$G N$	$=$	$\frac{B N}{B M} \cdot F M$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein.
	$=$	$\frac{2,5}{4,5} \cdot 1,04$
	↓	Berechne.
	$=$	$0,58 cm$

G N = 0,58 cm

Lösung zu A3.2

Das Volumen setzt sich zusammen aus:

Einer halben Kugel
Einem abgeschnittenen Kegel

Berechne das Volumen der Halbkugel

Wir benötigen die Hälfte des Kugelvolumens:

$V_{H a l b k u g e l}$	$=$	$V_{K u g e l} : 2$
	↓	Setze die Formel für das Kugelvolumen ein.
	$=$	$\frac{4}{3} r^{3} π : 2$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\frac{2}{3} r^{3} π$
	↓	Der Radius r ist die Strecke $A N = 2,5 cm$
	$=$	$\frac{2}{3} \cdot {2,5}^{3} π$
	↓	Berechne.
	$\approx$	$32,72 {cm}^{3}$

Berechne das Volumen des Kegelstumpfes

Das Volumen eines Kegelstumpfes erhält man, wenn man vom Volumen des großen Kegels das Volumen der abgeschnittenen Spitze, also das des kleinen Kegels abzieht.

Berechne zuerst das Volumen des großen Kegels:

Der Radius $r$ ist die Strecke $F M = 1,04 cm$ . Die Höhe $h$ ist die Strecke $B M = 4,5 cm$ .

$V_{K e g e l 1}$	$=$	$\frac{1}{3} r^{2} π h$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (1,04)^{2} \cdot π \cdot 4,5$
	↓	Berechne
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (1,04)^{2} \cdot π \cdot 4,5$
	$\approx$	$5,10 {cm}^{3}$

Berechne anschließend das Volumen des kleinen Kegels, der in der Halbkugel steckt:

Der Radius $r$ ist die Strecke $G N = 0,58 cm$ . Die Höhe $h$ ist die Strecke $B N = A N = 2,5 cm$ .

$V_{K e g e l 2}$	$=$	$\frac{1}{3} r^{2} π h$
	↓	Setze die Werte ein.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (0,58)^{2} \cdot π \cdot 2,5$
	↓	Berechne
	$\approx$	$0,88 {cm}^{3}$

Ziehe das Volumen des kleinen Kegels vom großen Kegel ab:

$V_{S t u m p f} = V_{K e g e l 1} - V_{K e g e l 2} = 5,10 {cm}^{3} - 0,88 {cm}^{3} = 4,22 {cm}^{3}$

Setze die Volumina zusammen:

$V_{K r e i s e l} = V_{H a l b k u g e l} + V_{S t u m p f} = 32,72 {cm}^{3} + 4,22 {cm}^{3} = 36,94 {cm}^{3}$

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?