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Aufgaben

Punkte zu Aufgabe 1.3: 2 P

Lösung zur Teilaufgabe A 1.1

Du erhälst die Wertetabelle, wenn du die Werte in die Funktion %%y=\frac{3}{x}%% einsetzt.

%%x%%

0,5

1

2

3

4

5

6

7

8

%%\frac{3}{x}%%

6

3

1,5

1

0,75

0,6

0,5

0,43

0,38

Zeichne diese Werte in ein Koordinatensystem

/Todo Grafik

Lösung zur Teilaufgabe A 1.2

Da die Punkte %%A_n%% auf der Funktion %%f: y= \frac{3}{x}%% liegen und die Punkte %%B_n%% auf der Gerade %%g: y=-1%%, gehst du beim x-Wert 3 auf den Funktionsgraphen von f, um %%A_1%% zu erhalten und auf die Funktion g, für %%B_1%%.

Lösung zur Teilaufgabe A 1.3

%%B_n%% liegt auf der Gerade g, deswegen sind die Koordinaten %%B_n(x|-1)%%.

%%A_n(x|\frac{3}{x}),%%

%%B_n(x|-1)%%

Stelle den Vektor %%\overrightarrow{A_nB_n}%% auf.

%%\overrightarrow{A_nB_n}=\begin{pmatrix} x\ -\ x \\-1\ -\ \frac{3}{x}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ -1 -\frac{3}{x}\end{pmatrix}%%

Berechne die Länge dieses Vektors.

%%\overline{AB}=\sqrt{0^2+(-1-\frac{3}{x})^2}%%
%%\qquad =\sqrt{(-1-\frac{3}{x})^2}%%

%%0^2%% kann weggelassen werden.

Wurzel und Quadrat heben sich auf.

%%=-1-\frac{3}{x}%%

Die Strecke %%\overline{A_nB_n}%% soll %%6\;\mathrm{cm}%% lang sein.

%%6=-1-\frac{3}{x}%%

Forme um.

%%6=-1-\frac{3}{x}%%
%%7=-\frac{3}{x}%%
%%7x=-3%%
%%x=-\frac{3}{7}%%

%%|+1%%
%%|\cdot x%%
%%|:7%%

Für %%x=-\frac{3}{7}\approx-0,43%% ist die Länge der Strecke %%\overline{A_nB_n}%% %%6\mathrm{cm}%%.

Punkte zu Aufgabe 2.1: 3 P Punkte zu Aufgabe 2.2: 3 P Punkte zu Aufgabe 2.3: 3 P

Lösung zur Teilaufgabe A 2.1

Die Strecke, die die Spitze des Rotorblattes zurück legt, entspricht dem Umfang des Kreises.
Berechne also zuerst den Umfang!

%%d=164\ \mathrm m%%

Berechne den Radius oder wähle die Umfangsformel, die den Durchmesser verwendet.

%%r= \frac{d}{2}=\frac{164\ \mathrm m}{2}=82\ \mathrm m%%

%%U=2r\pi=d\pi%%

Setze die Werte ein.

%%U= 164\ \mathrm m \cdot \pi =2\cdot 82\ \mathrm m \cdot \pi =515,22\ \mathrm m%%

Diese Strecke legt die Spitze des Rotorblattes bei einer Umdrehung zurück.

Aus der Angabe ist bekannt, dass das Rotorblatt in zehn Minuten 121 Umdrehungen schafft.
Rechne mit dem Dreisatz aus, wie viel es in einer Stunde, also sechzig Minuten, sind.

%%10\ \mathrm{min}\ \widehat{=}\ 121\ \text{Umdrehungen}%%

%%|\cdot 6%%

%%60\ \mathrm{min}\ \widehat{=}\ 726\ \text{Umdrehungen}%%

In einer Umdrehung legt man den Umfang des Kreises zurück.
Löse erneut mit dem Dreisatz!

%%515,22\ \mathrm{m}\ \widehat{=}\ 1\ \text{Umdrehungen}%%

%%|\cdot 726%%

%%374049,72\ \mathrm{m}\ \widehat{=}\ 726\ \text{Umdrehungen}%%

Das Ergebnis soll in Kilometer angegeben werden.
Rechne um.

%%374049,72\ \mathrm m= 374\ \mathrm{km}%%

Die Rotorspitze legt in einer Stunde 374 Kilometer zurück.

Lösung zur Teilaufgabe A 2.2

Beachte: Es muss nicht der Kreis in die Kiste passen, den die Rotorblätter erzeugen, wenn sie sich drehen, sondern nur die Rotorblätter!

Berechne zunächst die untere Seite der Kiste.

Die drei Rotorblätter bilden eine drehsymmetrische Figur.

Das bedeutet, dass die Winkel zwischen den Rotorblättern alle drei gleich groß sind.

%%360^\circ : 3 =120^\circ%%

Die Rotorblätter sind so lang wie der Radius, also %%82\ \mathrm{m}%%.

Verwende zum Beispiel den Kosinussatz.

%%b^2=a^2+c^2-2ac\cdot cos(\beta)%%

Die Seiten a und c sind die, die den bekannten Winkel einschließen.
Setze die bekannten Werte ein.

%%b^2= 82^2 + 82^2-2 \cdot 82 \cdot 82 \cdot cos(120^\circ)%%

Berechne.

%%b^2=20172%%

Ziehe die Wurzel.

%%b\approx 142\ \mathrm m%%

Berechne nun die Länge der Kiste.

Die Länge lässt sich in zwei Teile aufteilen:

  • die Länge des Rotorblattes, das 82 m lang ist.

  • das untere Stück, das der Länge der einen Kathete im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck entspricht.

Die andere Kathete ist die Hälfte der Basis des zuvor betrachteten gleichschenkligen Dreiecks:

%%142\ \mathrm m : 2= 71\ \mathrm m%%

Kathete 1: %%a= 71\ \mathrm m%%

Hypothenuse: %%c= 82\ \mathrm m%%

Wende den Satz des Pythagoras an.

%%a^2+b^2=c^2%%

Forme zunächst um.

%%b^2=c^2-a^2%%

%%b=\sqrt{c^2-a^2}%%

Setze die bekannten Werte ein.

%%b=\sqrt{82^2-71^2}\approx 41%%

Setze nun die beiden Teile zusammen, um die Länge der Kiste zu bekommen.

%%l=41\ \mathrm m + 82\ \mathrm m= 123\ \mathrm m%%

Lösung zur Teilaufgabe A 2.3

Gegeben hast du zwei durch %%Z%% verlaufende Geraden %%(BD%% und %%CA)%%, die von zwei parallelen Geraden %%(AB\;\vert\vert\;CD)%% geschnitten werden. Deshalb nutzt du den Vierstreckensatz.

Vierstreckensatz am Beispiel

Zunächst berechnest du die Höhe des Mastes und addierst danach die Länge der Strecke %%\overline{AC} = 82\;\text{m}%%. Somit erhältst du die Gesamthöhe des Windrades.

Zuerst stellst du folgende Gleichung zum Strahlensatz auf. Diese findest du auch in der Formelsammlung.

%%\overline{ZA}\;:\;\overline{AC}\;=\;\overline{ZB}\;:\;\overline{BD}%%

Setze im nächsten Schritt ein.

%%\displaystyle\frac{\text{Mast}}{82\;\text{m}} = \frac{42\;\text{m}}{25\;\text{m}}%%

Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit %%82\;m%%.

%%\displaystyle \text{Mast}=\frac{42\;\text{m}}{25\;\text{m}}\;\cdot\;82\;\text{m}%%

Berechne nun und runde auf eine ganze Zahl.

%%\text{Mast}\;\approx\;138\;\text{m}%%

Im letzten Schritt berechnest du die Gesamthöhe der Windkraftanlage. Addiere dafür die Höhe des Mastes mit der Länge des Rotorblattes.

%%\text{h}_{\text{gesamt}}=\;138\;\text{m}\;+\;82\;\text{m}\;=\;220\;\text{m}%%

Die gesamte Höhe der Windkraftanlage beträgt %%220\;\text{m}%%.

Punkte zu Aufgabe 3.1: 2 P Punkte zu Aufgabe 3.2: 3 P

Lösung zur Teilaufgabe A 3.1

In dieser Teilaufgabe geht es darum, die Länge der Strecke %%[FM_2]%% und %%[SM_1]%% zu bestimmen.

Länge der Strecke %%[FM_2]%%

Die Länge der Strecke %%[FM_2]%% bestimmen wir durch Subtraktion zweier Längen.

Figur Realschulabschlussprüfung Ausschnitt vergrößert

Gegeben ist die Länge der Strecke %%[EM_2] = 4\;\text{cm}%% und die Länge der Strecke %%[EF]=3,2\;\text{cm}%%.

Anhand der Skizze erkennst du, dass der Punkt %%F%% auf der Strecke %%[EM_2]%% liegt. Deshalb subtrahierst du %%\overline{EF}%% von %%\overline{EM_2}%%.

%%\overline{FM_2}=\;\overline{EM_2}\;-\;\overline{EF}\;=\;4\;\text{cm}\;-\;3,2\;\text{cm}\;=\;0,8\;\text{cm}%%

Die Strecke %%[FM_2]%% ist %%0,8\;\text{cm}%% lang.

Länge der Strecke %%[SM_1]%%

Für die Berechnung der Länge der Strecke %%[SM_1]%% nutzt du den Vierstreckensatz. In deiner Formelsammlung findest du folgende Formel und Abbildung:

%%\overline{CD}\;:\;\overline{AB}\;=\overline{ZC}\;:\;\overline{ZA}%%

mit %%AB\;||\;CD%%

Strahlensatz Vierstreckensatz Grafik aus Formelsammlung

In der gegebenen Figur entspricht die Strecke %%\overline{CD}\;=\;\overline{M_1B}%% und %%\overline{AB}\;=\;\overline{M_2C}%%. Die Strecke %%\overline{ZC}\;=\;\overline{M_1S}%% und %%\overline{ZA}\;=\;\overline{M_2S}%%.

Rotationsfigur Realschulabschlussprüfung 2016

Nun setzt du in die Formel ein.

%%\overline{CD}\;:\;\overline{AB}\;=\overline{ZC}\;:\;\overline{ZA}%%

Schreibe die Divisionen als Brüche.

%%\displaystyle\frac{\overline{CD}}{\overline{AB}\;}\;=\frac{\overline{ZC}}{\overline{ZA}}%%

Setze in die Gleichung ein.

%%\displaystyle\;\frac{4\;\text{cm}}{0,8\;\text{cm}}\;=\;\frac{\overline{SM_1}}{2\;\text{cm}}%%

Multipliziere auf beiden Seiten mit %%2\;\text{cm}%%.

%%\displaystyle \overline{SM_1}=\;\frac{4\;\text{cm}}{0,8\;\text{cm}}\;\cdot\;2\;\text{cm}%%

Berechne.

%%\overline{SM_1}\;=10\;\text{cm}%%

Die Strecke %%\lbrack SM_1\rbrack%% ist %%10\;\text{cm}%% lang.

Lösung zur Teilaufgabe A 3.2

Allgemeines

In der Teilaufgabe A 3.2 betrachtest du den gegebenen Rotationskörper und errechnest dessen Oberflächeninhalt O.

Dieser Rotationskörper entsteht durch Rotation um die Achse %%M_1S%%.

Im ersten Schritt teilst du den Körper in Teilfiguren auf:

Der Körper besteht aus einer kleinen Halbkugel mit dem Radius %%r_1%% (im Bild türkis) und einer größeren Halbkugel mit Radius %%r_2%% (im Bild grün).
Außerdem ist ein Kegel mit Radius %%r_1%% und Höhe %%\overline{M_1S}%% (im Bild rot) in der Figur enthalten. Wobei die Spitze des Kegels durch die größere Kugel abgeschnitten wird. Dabei entsteht ein Kegelstumpf.

Für die Berechnung des Oberflächeninhalts ist außerdem noch ein Kreisring von Bedeutung, den man sieht, wenn man von unten auf die größere, grüne Halbkugel schaut.

Teilfiguren Realschulabschlussprüfung 2016

Oberflächeninhalt der kleineren Halbkugel

Im ersten Schritt berechnest du den Oberflächeninhalt der türkisen, kleineren Halbkugel.
Den Oberflächeninhalt einer Kugel berechnet man durch folgende Formel.

%%\text{O}_{\text{Kugel}}\;=\;4\;\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;\mathrm r^2%%

Die Kugel hat den Radius %%r_1= 2\;\text{cm}%%. Da du nur eine Halbkugel vorliegen hast, halbierst du den Oberflächeninhalt noch:

%%\text{O}_{\text{kl. Halbkugel}}\;=\;{\textstyle\frac12}\;\cdot\;4\;\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;\mathrm r_1^2%%

Setze den Radius %%r_1%% ein.

%%= \frac12\;\cdot\;4\;\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;(2\;\mathrm{cm})^2\;%%

Vereinfache soweit wie möglich.

%%=8\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^2%%

Berechne und runde.

%%\approx25,1\;\text{cm}^2%%

Der Oberflächeninhalt der kleinen, türkisen Halbkugel beträgt gerundet %%25,1\;\text{cm}^2%%.

Oberflächeninhalt der größeren Halbkugel

Nun berechnest du den Oberflächeninhalt der größeren, grünen Halbkugel. Für diese Berechnung bestimmst du die Hälfte des Oberflächeninhalts einer ganzen Kugel mit Radius %%r_2 = 4\;\text{cm}%%.

%%\text{O}_{\text{gr. Halbkugel}}= \;\frac12\;\cdot\;\text{O}_{\text{gr.Kugel}}\;%%

Setze die Formel zur Bestimmung des Oberflächeninhaltes der Kugel ein und halbiere ihn.

%%=\;\frac12\;\cdot\;4\;\cdot\mathrm\pi\;\cdot\;r_2^2\;%%

Setze den Radius %%r_2%% ein.

%%=\;\frac12\;\cdot\;4\;\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;(4\;\text{cm})^2\;%%

Vereinfache soweit, wie möglich.

%%=32\;\mathrm\pi\;\;\mathrm{cm}^2\;%%

Berechne und runde das Ergebnis.

%%\approx100,5\;\mathrm{cm}^2\;%%

Flächeninhalt des Kreisrings

Der Kreisring ist die grüne Fläche, die man sieht, wenn man einen Querschnitt entlang der Strecke %%[ED]%% zieht und von unten auf die grüne Halbkugel schaut. Zum einen wird er begrenzt von dem kleinen, roten Kreis mit Radius %%FM_2%%, zum anderen wird der Kreisring von dem größeren Kreis mit Radius %%EM_2%% begrenzt. Die rote, kleinere Kreisfläche ist die Schnittfläche mit dem Kegel und darf folglich nicht in den Oberflächeninhalt eingerechnet werden.

Kreisring Abschlussprüfung Realschule 2016

Um den Flächeninhalt des Kreisring zu bestimmen, subtrahierst du den Flächeninhalt des Kreise mit Radius %%EM_2 = r_2 = 4\;\text{cm}%% von dem Flächeninhalt des Kreises mit Radius %%FM_2 = r_3 = 0,8\;\text{cm}%%.

%%A_{Kreisring}\;=\;\mathrm\pi\;\cdot\;\mathrm r_2^2\;-\;\mathrm\pi\;\cdot\;\mathrm r_3^2\;%%

Setze die beiden Radien ein.

%%=\;\mathrm\pi\;\cdot\;(4\;\mathrm{cm})^2\;-\;\mathrm\pi\;\cdot\;(0,8\;\mathrm{cm})^2\;%%

Vereinfache soweit, wie möglich.

%%=\:16\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^2\;-0,64\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^2%%

Vereinfache weiter.

%%=15,36\cdot\pi\;\text{cm}^2%%

Berechne und runde auf eine Nachkommastelle.

%%\approx48,2\;\text{cm}^2%%

Der Flächeninhalt des Kreisrings beträgt circa %%48,2\;\text{cm}^2%%.

Oberflächeninhalt des Kegels

Für den Oberflächeninhalt eines Kegels gilt
%%O = G + M%%

mit Grundfläche %%G = r \cdot 2 \cdot \pi%% und

Mantelfläche %%M = r \cdot m \cdot \pi%%.

Außerdem beschreibt %%m%% die Mantellinie und %%r%% den Radius.

Für %%m%% gilt nach dem Satz des Pythagoras
%%m = \sqrt{r^2 + h^2}%%.

Mit Hilfe des Radius %%r%% und der Höhe %%h%% kannst du nun den Oberflächeninhalt allgemein bestimmen.

Bild eines Kegels mit r und m

Für den Oberflächeninhalt des gesamten Rotationskörper sind lediglich die äußeren Oberflächenstücke entscheidend. Infolgedessen fällt die Grundfläche des Kegels für diese Betrachtung weg.

Deshalb erhältst du den Oberflächeninhalt dadurch, dass du die Mantelfläche %%M_\text{Kegel}%% des Kegels errechnest und davon die Mantelfläche der abgegrenzten Kegelspitze %%M_\text{Kegelspitze}%% abziehst.

Teilfiguren Realschulabschlussprüfung 2016

Es ergibt sich also:

%% \begin{align} O_\text{Kegelstumpf} &= M_\text{Kegel} - M_\text{Kegelspitze} \\ &= r_\text{Kegel} \cdot m_\text{Kegel} \cdot \pi \; - r_\text{Kegelspitze} \cdot m_\text{Kegelspitze} \cdot \pi \\ &= r_\text{Kegel} \cdot \sqrt{r_\text{Kegel}^2 + h_\text{Kegel}^2} \cdot \pi - \; r_\text{Kegelspitze} \cdot \sqrt{r_\text{Kegelspitze}^2 + h_\text{Kegelspitze}^2} \cdot \pi \\ &= \overline{AM_1} \cdot \sqrt{\overline{AM_1}^2 + \overline{SM_1}^2} \cdot \pi - \; \overline{FM_2} \cdot \sqrt{\overline{FM_2}^2 + \overline{SM_2}^2} \cdot \pi \\ &= 2\mathrm{cm} \; \cdot \sqrt{(2\mathrm{cm})^2 + ({10\mathrm{cm}})^2}\cdot \pi - \; 0,8\mathrm{cm} \cdot \sqrt{(0,8\mathrm{cm})^2 + (4\mathrm{cm})^2} \cdot \pi \\ \\ &\approx 64,1\;\mathrm{cm^2} \; - \; 10,3\; \mathrm{cm^2} \\ &= 53,8\; \mathrm{cm^2} \end{align}%%

Der Oberflächeninhalt des Kegelstumpfes beträgt gerundet %%53, 8\;\text{cm}^2%%.

Oberflächeninhalt des gesamten Rotationskörpers

Für den Oberflächeninhalt des gesamten Rotationskörper sind lediglich die äußeren Oberflächenstücke entscheidend.

Deshalb addiert man für die Gesamtoberfläche den Oberflächeninhalt der großen Halbkugel, den Flächeninhalt des Kreisrings, den Oberflächeninhalt des Kegelstumpfs und den Oberflächeninhalt der kleineren Halbkugel.

%%O_\text{Gesamt} = \underbrace{100,5 \mathrm{cm}^2}_{\text{große Halbkugel}} + \underbrace{48,3 \mathrm{cm^2}}_{\text{Kreisring}} + \underbrace{53,8 \mathrm{cm^2}}_{\text{Kegelstumpf}} + \underbrace{25,1 \mathrm{cm^2}}_{\text{kleine Halbkugel}} = 227,7 \mathrm{cm^2} %%

Der Oberflächeninhalt umfasst also %%227,7 \mathrm{cm^2}%%.

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