Aufgaben
In einem Labor ist die Temperatur im Versuchsraum über einen Zeitraum von 36 Stunden von einem automatischen Meßgerät aufgezeichnet worden.
Die Aufzeichnung ergibt den folgenden Temperaturverlauf:
Graph mit Temperaturverlauf
Entnimm dem Graphen folgende Informationen:
a) Wie hoch war die Temperatur im Raum zu Beginn der Beobachtung?
b) Wann erreichte die Temperatur das erste Mal 20°C?
c) Wie viele Stunden war es im Versuchsraum 20°C oder wärmer?
d) Wann ungefähr erreichte die Temperatur ihren höchsten Wert?
e) Wie hoch war der höchste Temperaturwert ungefähr?
f) Wieviel °C betrug die Temperatur nach 28 Stunden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren

Teilaufgabe a)

Teil a1)
Zu Beginn der Beobachtung ist t=0t=0.
Gesucht ist also der Schnittpunkt der Kurve  des Temperaturverlaufs mit der y-Achse, d.h. mit der Temperaturachse.
Die y-Achse wird im Punkt (010)(0\vert10) geschnitten.
Antwort: Zu Beginn der Temperaturbeobachtung (t=0)(t=0) beträgt die Temperatur 10C10^\circ\mathrm{C}.


Teilaufgabe b)

Teil b1
Zeichne eine Gerade mit der Gleichung y=20y = 20 ein, da der Temperaturwert 20C20^\circ\mathrm{C} betragen soll.
Die Gerade y=20y = 20 schneidet die Kurve des Temperaturverlaufs zwei Mal.
In der Aufgabe wird nach dem ersten Mal gefragt. Das ist bei t=10t=10 Stunden der Fall.

Antwort: Nach 1010 Stunden erreichte die Temperatur das erste Mal 20C20^\circ\mathrm{C}


Teilaufgabe c)

Betrachte die Abbildung bei Teilaufgabe b).
Die Gerade mit der Gleichung y=20y = 20 schneidet den Temperaturverlauf sowohl bei t=10h t=10\mathrm{h} als auch bei t=22ht=22\mathrm{h}

Die Differenz der beiden Zeitwerte ist die gesuchte Lösung der Teilaufgabe c)
\Rightarrow  22h10h=12h22\mathrm{h} -10\mathrm{h} = 12\mathrm{h}.

Antwort: Im Versuchsraum war es 1212 Stunden lang 20C20^\circ\mathrm{C} oder wärmer.


Teilaufgabe d)

Teil d 1
Wir suchen den höchsten Punkt des Temperaturverlaufs.
Auf der Zeitachse entspricht ein Teilstrich 0,40,4 Stunden. Das Temperaturmaximum liegt zwischen 1616 und 1818 Stunden, beim 3. 3. Teilstrich. Zu den 1616 Stunden müssen also 30,4=1,23 \cdot 0,4 =1,2 Stunden addiert werden, so dass sich eine Zeit von 17,2 17,2 Stunden ergibt (senkrechte Gerade x=17,2x=17,2 ).
Anmerkung: Für 22 Stunden gibt es 55 Teilstriche,
d.h. ein Teilstrich entspricht 120min:5=24min120\mathrm{min} :5= 24\mathrm{min}. Zu den 1616 Stunden müssen also
324min=72min3\cdot24\mathrm{min}=72\mathrm{min} addiert werden. Das sind dann 1717 Stunden und 12min12\mathrm{min}.
Antwort: Nach etwa 17,217,2 Stunden (bzw. nach 1717 Stunden und 12min12\mathrm{min}) erreichte die Temperatur ihren höchsten Wert.


Teilaufgabe e)

Betrachte die Abbildung bei Teilaufgabe d).
Die eingezeichnete Parallele zur x-Achse durch das Maximum schneidet die y-Achse im Punkt (029)(0\vert29), d.h. das Temperaturmaximum hat etwa die Koordinaten (17,229)(17,2\vert29). Der y-Wert des Temperaturmaximums zeigt die höchste Temperatur an.
Antwort: Der höchste Temperaturwert betrug etwa 29C.29^\circ\mathrm{C}.


Teilaufgabe f)

Teil f 1
Zeichne in die Abbildung die Gerade x=28x=28. Sie schneidet die Kurve des Temperaturverlaufs im Punkt S(2816)S(28\vert16).
Antwort: Nach 2828 Stunden beträgt die Temperatur etwa 16C.16^\circ\mathrm{C}.

Endlich Schulschluss! Miriam steht am Fahrradstellplatz, setzt ihre Schultasche in den Korb auf dem Gepäckträger ihres Fahrrads und packt, weil es ein warmer Sommertag ist, auch ihre Jacke dazu. Sie schließt das Schloss ihres Fahrrads auf und fährt los.
Nachdem sie ein Stück weit gekommen ist, muss sie an einer Ampel warten. Dort bemerkt sie, dass sie ihre Jacke verloren hat.
Sie kehrt um, findet die Jacke auf dem Boden liegend, hebt sie auf und verstaut sie sicher auf dem Gepäckträger. Dann setzt sie ihren Heimweg fort.
Das Zeit-Ort-Diagramm ihres Heimwegs sieht ungefähr so aus:
Zeit-Ort-Diagramm zum Heimweg von Miriam
Beantworte die folgenden Fragen mit Hilfe des Diagramms:
  1. Um wie viel Uhr ist Miriam von der Schule losgefahren?
  2. Wie weit ist sie gefahren, bis sie zu der Ampel kam?
  3. Wann ist sie an der Ampel angekommen, und wie lange hat sie dort gewartet, ehe sie umkehrte, um die Jacke zu suchen?
  4. Wie weit von der Schule entfernt lag die Jacke auf dem Boden?
  5. Wie viele Meter musste Miriam insgesamt zusätzlich fahren, weil sie die Jacke verloren hatte?
  6. Musste Miriam auch beim zweiten Mal wieder an der Ampel warten, oder stand die Ampel diesmal auf Grün?
  7. Wie weit ist Miriams Schulweg?
  8. Wann kam Miriam vor ihrem Haus an?
Und überlege dir schließlich: Was könnte Miriam in der Zeit von 16:40 Uhr bis 16:45 Uhr getan haben?
Das Diagramm zeigt, wie viel Benzin sich zu jedem Zeitpunkt einer Reise im Tank eines Fahrzeugs befindet.
Diagram zu Aufgabe 3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren

gegebene Informationen:
  • Situation um 16:0016:00 Uhr: Auto mit 5l5\mathrm l Benzin gefüllt
  • Situation um 16:0016:00 Uhr: Auto mit 40l40\mathrm l Benzin gefüllt
Differenz des Benzinstandes um 16:0016:00 Uhr berechnen.
5l40l=35l=35l5\mathrm l-40\mathrm l=-35\mathrm l=\left|35\mathrm l\right|
        \;\;\Rightarrow\;\; Es wurden  35l35\mathrm l getankt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren

gegebene Informationen:
  • Anfangssituation um 10:0010:00 Uhr: Auto mit 45l45\mathrm l Benzin gefüllt.
  • Situation um 16:0016:00 Uhr: Auto mit 5l5\mathrm l Benzin gefüllt.
  • Situation um 16:0016:00 Uhr: Auto mit 40l40\mathrm l Benzin gefüllt.
  • Endsituation 21:0021:00 Uhr: Auto mit 10l10\mathrm l Benzin gefüllt.
Differenz des Benzinstandes zwischen 10:0010:00 und 16:0016:00 sowie zwischen 16:0016:00 und 21:0021:00 Uhr berechnen.
45l5l=40l45\mathrm l-5\mathrm l=40\mathrm l
40l10l=30l40\mathrm l-10\mathrm l=30\mathrm l
Die Ergebnisse beider Differenzen addieren .
40l+30l=70l40\mathrm l+30\mathrm l=70\mathrm l
        \;\;\Rightarrow\;\; Es wurden  70l70\mathrm l verbraucht.
In den folgenden Bildern A, B und C siehst du drei Graphen, die den gleichen Sachverhalt zeigen.
Graph in verschiedenen Maßstäben
Die Preise sind in € angegeben.
a) Erkläre, worin sich die drei Graphen unterscheiden.

b) Finde Gemeinsamkeiten der drei Graphen.

c) Begründe, welche Darstellung du am geeignetsten findest.
Der Graph zeigt, wie ein Gefäß innerhalb von 10 Minuten mit Wasser gefüllt wird.
Graph

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Diagramme interpretieren

Jede der Abbildungen von 1 bis 4 enthält verschiedene Streckenabschnitte. Sie geben Auskunft über die dort gefahrene Geschwindigkeiten.
Verläuft der Geschwindigkeitsgraph waagerecht, so wird dort mit konstanter Geschwindigkeit gefahren.
Ist die Steigung des Geschwindigkeitsgraphen negativ, so nimmt die Geschwindigkeit ab, d. h. hier wird gebremst.
Ist die Steigung des Geschwindigkeitsgraphen positiv, so nimmt die Geschwindigkeit zu, hier wird beschleunigt.
Die Kurvenform gibt Auskunft darüber wie stark gebremst werden muss.
Je enger die Kurve ist (starke Krümmung der Bahnkurve), desto stärker muss die Geschwindigkeitsabnahme erfolgen (starkes Bremsen). Bei einer nicht so stark gekrümmten Kurve ist auch die Geschwindigkeitsabnahme geringer.

So kann man anhand der Abbildungen 1 bis 4 die Art der Kurve identifizieren.

Der Graph der Rennstrecke a ist ein Kreis. Die Fahrt auf einem Kreis ist eine gleichförmige Kreisbewegung, bei der die Geschwindigkeit konstant bleibt. Der einzige Geschwindigkeitsgraph mit einer konstanten Geschwindigkeit von 180 kmh180~\frac{\text{km}}{\text{h}} (waagerechte Gerade) ist Graph Nr. 2.
Der Graph der Rennstrecke b enthält drei Kurven, eine sehr enge Kurve (starke Geschwindigkeitsabnahme bis auf 80 kmh80~\frac{\text{km}}{\text{h}} ) und zwei etwas weitere Kurven (geringere Geschwindigkeitsabnahme bis auf 180 kmh180~\frac{\text{km}}{\text{h}} ). Der Graph der Rennstrecke b enthält außerdem auch zwei längere, fast gerade Bahnstrecken. Zu den zwei längeren geraden Bahnstrecken gehören in der Abbildung 3 auch zwei längere Streckenbereiche mit gleicher Geschwindigkeit.
Zu b passt also nur der Graph 3 mit insgesamt drei Kurvenfahrten.
Der Graph der Rennstrecke c enthält vier gleich gestaltete Kurven und auch zwei längere gerade Bahnstrecken. Zu den zwei längeren geraden Bahnstrecken gehören in der Abbildung 4 auch zwei längere Streckenbereiche mit gleicher Geschwindigkeit. Zu c passt also der Graph 4 mit insgesamt vier gleichen Kurvenfahrten.
Der Graph der Rennstrecke d enthält drei sehr enge Kurven (starke Geschwindigkeitsabnahme von 240 kmh240~\frac{\text{km}}{\text{h}} bis auf 120 kmh120~\frac{\text{km}}{\text{h}} ) und drei etwas weitere Kurven (geringere Geschwindigkeitsabnahme von 240 kmh240~\frac{\text{km}}{\text{h}} auf 200 kmh200~\frac{\text{km}}{\text{h}} ). Zu dieser Abbildung passt also nur der Graph 1.
Im folgenden Abschnitt sind die Rennstrecken und die zugehörigen Geschwindigkeitsgraphen noch einmal nebeneinander dargestellt.


Graph zu Strecke a)

Graph zu Strecke b)

Graph zu Strecke c)

Graph zu Strecke d)

Welche der folgenden fünf Graphen gehören sicher nicht zu einer Funktion?
grüner Graph, Parabel
roter Graph, gedrehte Parabel
orange-farbener Graph von verschobener Hyperbel
türkisfarbener Graph, gedrehte verschobene Hyperbel
lilafarbener Graph, Wellenlinie x + sin(2x)
G3G_3 und G4G_4
G1,G3G_1, G_3 und G5G_5
G2G_2 und G4G_4
G2G_2 und G5G_5

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktion

Am Graphen kannst Du sehr gut ablesen, ob die Funktionseigenschaft erfüllt ist, ob also jedem xx-Wert genau ein yy-Wert zugeordnet wird. Jede Parallele zur yy-Achse kann den Graphen dabei genau einmal schneiden.
Die Auswahlmöglichkeit G1G_1,G3G_3 und G5G_5 führt zu Funktionen. Danach war aber in der Aufgabenstellung nicht gefragt.
Graph 1
Der Graph G1G_1 berührt die yy-Achse einmal im Punkt AA.
Jede weitere beliebige Parallele zur yy-Achse darf den Graphen dabei höchstens einmal schneiden; hier beispielsweise im Punkt BB.
G1G_1 gehört also zu einer Funktion.
Graph 3
Der Graph G3G_3 schneidet die yy-Achse einmal im Punkt AA.
Jede beliebige Parallele zur yy-Achse kann den Graphen dabei genau einmal schneiden; hier im Punkt BB.
G3G_3 gehört also zu einer Funktion.
Graph 5
Der Graph G5G_5 schneidet die yy-Achse einmal im Punkt AA.
Jede beliebige Parallele zur yy-Achse kann den Graphen dabei genau einmal schneiden; hier im Punkt BB.
G5G_5 gehört also zu einer Funktion.
Die Auswahlmöglichkeit G2G_2 und G4G_4 ist die gesuchte Antwort aus der Fragestellung.
Graph 2
Der Graph G2G_2 schneidet die yy-Achse im Punkt AA und im Punkt BB.
Damit wird aber gegen die Funktionseigenschaft verstoßen, dass jedem xx-Wert genau ein yy-Wert zugeordnet wird. G2G_2 gehört also nicht zu einer Funktion.
Graph 4
Der Graph G4G_4 schneidet die yy-Achse im Punkt AA und im Punkt BB.
Damit wird aber gegen die Funktionseigenschaft verstoßen, dass jedem xx-Wert genau ein yy-Wert zugeordnet wird. G4G_4 gehört also nicht zu einer Funktion.
Bei den Auswahlmöglichkeit G3G_3 und G4G_4 bzw. G2G_2 und G5G_5 war jeweils eine Funktion und jeweils einmal keine Funktion dabei.
Der Graph G1G_1 ist eine Parabel, eine Normalparabel. G1G_1 ist der Graph einer Potenzfunktion, einer quadratischen Funktion.
Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=x2f(x) = x^2.
Der Graph G3G_3 ist eine verschobene Hyperbel. Der Graph gehört zu einer gebrochen rationalen Funktion. Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=1x2+1f(x) = \dfrac{1}{x-2}+1
Der Graph G5G_5 hat keinen besonderen Namen. Der Graph gehört zu einer Kombination aus einer linearen Funktion und einer trigonometrischen Funktion.
Die Funktionsgleichung lautet: f(x)=x+sin(2x)f(x) = x+sin(2\cdot x).
Wähle alle richtigen Aussagen aus:
Der Graph einer Funktion schneidet die yy-Achse höchstens einmal.
Eine zur xx-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph.
Der Graph einer Funktion schneidet die xx-Achse mindestens einmal.
Der Graph einer Funktion schneidet die xx-Achse höchstens einmal.
Der Graph einer Funktion schneidet die yy-Achse mindestens einmal.
Eine zur yy-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen

Bei dieser Aufgabe sind sechs Aussagen angegeben, von denen man jeweils herausfinden soll, ob sie richtig sind.
Beachte dabei: Du darfst eine Aussage nur dann als richtig werten, wenn sie auch wirklich immer stimmt, und nicht schon dann, wenn es irgendwelche Fälle gibt, in denen sie mal richtig ist.
Sobald es auch nur ein einziges Gegenbeispiel gibt, ist die Aussage falsch.
Wahr sind nur die Aussagen, die "im allgemeinen Fall" richtig sind.

Falsche Aussagen

Folgende Aussagen sind für den allgemeinen Fall nicht richtig:
  • "Der Graph einer Funktion schneidet die xx-Achse mindestens einmal."
  • "Der Graph einer Funktion schneidet die xx-Achse höchstens einmal."
  • "Der Graph einer Funktion schneidet die yy-Achse mindestens einmal."
Und die folgende Aussage ist sogar immer falsch:
  • "Eine zur yy-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."

Richtige Aussagen

Richtig sind die folgenden Aussagen:
  • "Eine zur xx-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."
  • "Der Graph einer Funktion schneidet die yy-Achse höchstens einmal."

Begründungen

Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die x-Achse mindestens einmal."

Betrachte zum Beispiel den folgenden Funktionsgraphen:
Funktion ohne Schnittpunkte mit der x-Achse
Dieser Graph schneidet die xx-Achse nicht.
Anmerkung:
Die Funktion, zu der der Graph im Bild gehört, ist: f:x0,5x²+1f:x \mapsto 0,5x²+1
Die Aussage ist also im Allgemeinen falsch, da es eine Funktion gibt, für die sie nicht erfüllt ist.
("Im Allgemeinen falsch" heißt: Für eine bestimmte Funktion kann sie schon richtig sein, aber sie stimmt nicht für jede Funktion, also nicht "allgemein").

Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die xx-Achse höchstens einmal."

Betrachte zum Beispiel den folgenden Funktionsgraphen:
Funktionsgraph mit zwei Schnittpunkten mit der x-Achse
Dieser Graph schneidet die xx-Achse mehr als einmal.
Anmerkung:
Die Funktion, zu der der Graph im Bild gehört, ist: g:xx²2g:x \mapsto x²-2
Die Aussage ist also im Allgemeinen falsch, da es eine Funktion gibt, für die sie nicht erfüllt ist.

Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die yy-Achse mindestens einmal."

Betrachte zum Beispiel den folgenden Funktionsgraphen:
Dieser Graph hat keinen Schnittpunkt mit der yy-Achse. da der xx-Wert 00 nicht im Definitionsbereich der Funktion ist.
Anmerkung:
Die Funktion, zu der der Graph im Bild gehört, ist: h:x1xh:x \mapsto \frac{1}{x}
Die Aussage ist also im Allgemeinen falsch, da es eine Funktion gibt, für die sie nicht erfüllt ist.

Zur Aussage "Eine zur yy-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."

Betrachte zum Beispiel den folgenden Graphen:
Gerade parallel zur y-Achse
Dieser Graph gehört nicht zu einer Funktion.
Eine zur yy-Achse parallele Gerade kann nicht Graph einer Funktion sein, weil diese Funktion dann einem einzigen xx-Wert unendlich viele yy-Werte (und nicht nur einen!) zuordnen würde.
Die Aussage ist sogar immer falsch, es gilt nämlich:
Eine zur y-Achse parallele Gerade ist kein Graph einer Funktion f:xf(x)f: x\mapsto f(x).

Zur Aussage "Eine zur xx-Achse parallele Gerade ist ein Funktionsgraph."

Diese Aussage ist richtig.
zur x-Achse parallele Gerade bei y=1
Wenn eine Gerade parallel zur xx-Achse bei y=ay=a verläuft, dann haben alle ihre Punkte den yy-Wert aa.
Daher ist die Gerade Graph der Funktion
f:xaf:x\mapsto a,
die jedem xx den Wert aa zuordnet.
(Die Gerade im Bild hier zum Beispiel ist Graph der Funktion f:x1f: x\mapsto 1. )

Zur Aussage "Der Graph einer Funktion schneidet die yy-Achse höchstens einmal."

Die Aussage ist richtig.
Graph, der die y-Achse zweimal schneidet
Wenn ein Graph die yy-Achse mehr als einmal schneidet, kann er nicht Graph einer Funktion f:xf(x)f: x \mapsto f(x) sein.
Denn dem xx-Wert x=0x=0 müsste dann mehr als nur ein yy-Wert zugeordnet sein.
Handelt es sich um eine Funktion oder nur um eine Zuordnung?
Diesmal wird die umgedrehte Richtung angeschaut:
Anzahl der Nummer 1 Hits \mapstoJahr
Es ist eine Funktion
Es ist nur eine Zuordnung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen

Dies ist nur eine Zuordnung. 0 Hits hat sie zum Beispiel in jedem Jahr, in dem sie keine Musik produziert.
Es gibt also keinen eindeutigen Wert, der der Anzahl 0 Hits zugeordnet wird und deshalb ist es nur eine Zuordnung, keine Funktion
Wieder kaufst du Äpfel. Diesmal interessiert dich aber der Zusammenhang Preis \mapsto Anzahl Äpfel
Es handelt sich um eine Funktion
Es ist lediglich eine Zuordnung

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen

Auch dies ist eine Funktion. Zahlt man einen bestimmten Preis bekommt man an diesem Tag dafür auch immer eine bestimmte Anzahl an Äpfeln
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