- Kreiszahl; Umfang und Flächeninhalt des Kreises - Kreisbogen und Kreissektor

Aufgaben

Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle (auf die erste Dezimalstelle gerundet).

 

$$$$

a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

4,5 cm

0,7 mm

Durchmesser d

40,0 cm

5,5 m

Umfang U

92,4 m

Berechnung der Kreisgrößen

Thema dieser Aufgabe ist das Berechnen von Kreisgrößen wie Radius, Durchmesser und Umfang.

$$$$

a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

4,5 cm

20,0 cm

2,8 m

14,7 m

0,7 mm

Durchmesser d

9,0 cm

40,0 cm

5,6 m

29,4 m

1,4 mm

Umfang

28,3 cm

125,7 cm

17,6 m

92,4 m

4,4 mm

Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle (auf die erste Dezimalstelle gerundet).

 

$$$$

a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

1,5 cm

33,0 cm

Durchmesser d

2,4 m

Umfang U

71,4 m

Flächeninhalt

12,56 cm²

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von 1,20 m. Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils 50 cm breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

 

  1. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

  2. Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens 15 cm überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

 

 

Breite

Länge

Tischdecke A

140 cm

260 cm

Tischdecke B

150 cm

250 cm

Tischdecke C

160 cm

240 cm

Teilaufgabe 1

Berechnungen am Kreis

%%U_{vergrößerte\;Tischplatte}=2\cdot r\cdot\pi+2\cdot2\cdot b%%

Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite %%b%% der zwei gleichen Rechtecke zusammen.

%%=\;2\cdot0,6\cdot\mathrm\pi+4\cdot0,5%%

%%\approx5,77\;m%%

 

%%A_{vergrößerte\;Tischplatte}=\;r^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(b\cdot l\right)%%

Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge %%l%% der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.

%%=\;0,6^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(0,5\cdot1,2\right)%%

 

%%=2,33\;m^2%%

 

Teilaufgabe 2

Tischdecke A

 

Damit die Tischdecke an allen Seiten %%15cm%% übersteht, muss sie um %%30cm%% länger und breiter sein, als der Tisch.

%%b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm%%

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

%%140cm-120cm=20cm%%

 

%%20cm\leq30\;cm%%

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten %%30cm%%.

%%\Rightarrow%% Also fällt Tischdecke A weg.

 

Tischdecke B

 

%%150cm-120cm\;=30\;cm%%

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

%%30cm\geq30cm%%

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

%%l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30cm%%

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

%%250cm-\left(2\cdot60cm+2\cdot50cm\right)=%%

 

%%250cm-220cm\geq30cm%%

 

%%30cm=30cm%%

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um %%30cm%% über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als %%30cm%% über, da der Tisch abgerundet ist.
%%\Rightarrow%% Dass heißt: Tischdecke B ist ideal. 

Prüfe Tischdecke C

 

Zuerst wird die Breite überprüft.

%%160cm-120cm\geq30cm%%

%%40cm\geq30cm%%

%%\Rightarrow%% Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

%%240cm-220cm\geq30cm%%

 

%%20cm\leq30cm%%

%%\Rightarrow%% Jedoch ist sie nicht lang genug, um %%30cm%% über zu stehen.

%%\Rightarrow%% Deshalb ist auch C nicht geeignet. 

A: Tischdecke B eignet sich.

Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.

Beachte bei der Eingabe der Ergebnisse ins entsprechende Eingabefeld auf Folgendes:

Gib die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma gerundet und ohne Einheit ein.

Fläche eines Viertelkreises

Berechnungen am Kreis

In dieser Aufgabe geht es um Berechnungen am Kreis.

Umfang des Kreises: %%U\;=\;2\cdot\pi\cdot r%%

Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnitt mit %%90^\circ%%.

Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens %%U_{Kreisbogen}%% zu bestimmen.

%%U_{Kreisbogen}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r%%

Alternativ

%%U_{Kreisbogen}\;=\;2\cdot\pi\cdot r \cdot \frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r%%

Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel für die Kreisbogenlänge mit dem Winkel %%\varphi = 90^\circ%% verwenden.

Jetzt fehlen noch die 2 geraden Stücke. Diese haben gerade jeweils die Länge des Radius %%r%% des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur %%U_{Figur}%% zu bekommen.

 

%%U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r\;+\;2\cdot r%%

Jetzt muss nur noch für %%r = 3 \, cm%% eingesetzt werden.

 

%%U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot3\;+\;2\cdot3%%

 

%%U_{Figur}\;\approx\;10,7\,%%

Das Ergebnis ist gerundet.

Der Umfang beträgt %%10,7 \, cm%%. .

Fläche eines Sechstel-Kreises

Berechnungen am Kreis

In dieser Aufgabe geht es um Berechnungen am Kreis.

Fläche eines Sechstel-Kreises

Der Umfang der Figur %%U_{Figur}%% besteht aus der Länge eines Kreisbogens mit dem Winkel %%60^\circ%% und den 2 geraden Stücken.

Diese geraden Stücke haben gerade jeweils die Länge des Radius %%r%% des Kreissektors. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreissektors addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu erhalten.

%%U_{Figur}= 2\cdot3,7\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}+2\cdot3,7\approx 11,3%%

 

Der Umfang beträgt %%11,3 \, cm%%.

Flächenberechnung am Rechteck mit zwei fehlenden Halbkreisen

Berechnungen am Kreis

In dieser Aufgabe geht es um Berechnungen am Kreis.

Flächenberechnung am Rechteck mit zwei fehlenden Halbkreisen

Der Umfang dieser Figur %%U_{Figur}%% besteht aus zwei geraden Stücken jeweils der Länge %%5,8\,cm%% und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius %%1,2\,cm%%.

Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius %%1.2\,cm%% entsteht.

Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises (%%U_{Kreis}=2\cdot \pi \cdot r%%) mit dem Radius %%r= 1.2\,cm%% statt die Umfänge der zwei Halbkreise hernehmen.

%%U_{gerade \, Stücke} = 2 \cdot 5,8%% %%U_{Halbkreise}=U_{Kreis}= 2 \cdot \pi \cdot 1,2%%

Ingesamt erhält man

%%U_{Figur}=2\cdot5,8+2\cdot \pi \cdot 1,2\approx19,1% %%

Der Umfang beträgt %%19,1 \, cm%%.

In einem Kreis mit Radius  %%r=5\mathrm{cm}%% ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel %%\varphi=45^\circ%% eingezeichnet.

Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

Kreissektor

Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.

%%r=5\text{ cm}%%

%%\varphi=45^\circ%%

Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.

%%b=\pi\cdot5\text{cm}\cdot\frac{45^\circ}{180^\circ}%%

%%=\frac54\pi\text{cm}\approx 3,93\text{cm}%%

Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.

%%A_{ks}=\frac12\cdot5\text{cm}\cdot\frac54\pi\text{cm}%%

%%=\frac{25}8\pi\text{cm}^2\approx9,82\text{cm}^2%%

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