Aufgaben zu Berechnungen am Kreis

Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle. Runde dabei auf eine Stelle nach dem Komma.

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	4,5 cm				0,7 mm
Durchmesser d		40,0 cm	5,6 m
Umfang U				92,4 m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Berechnung der Radien (erste Zeile)

b) Hier ist der Durchmesser des Kreises gegeben. Der Radius ist immer die Hälfte des Durchmessers. Also gilt für den Radius:

\displaystyle r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{40{,}0\text{cm}}{2} = 20{,}0\text{cm}

c) Hier ist auch der Durchmesser gegeben. Den Radius berechnest du genau wie bei b):

\displaystyle r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{5{,}6\text{m}}{2} = 2{,}8\text{m}

d) Hier ist der Umfang des Kreises gegeben. Die Formel für den Umfang des Kreises ist: $U = d \cdot \pi = 2\cdot r\cdot \pi$ . Um den Radius des Kreises zu ermitteln, kannst du den Wert für den Umfang einsetzen und dann die Formel umstellen:

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rclll} 92{,}4\text{m} &=& 2\cdot r\cdot \pi &\vert :2 &\vert :\pi \\\\ \dfrac{92{,}4\text{m}}{2\cdot\pi} &=& r\\\\ r &\approx & 14{,}7\text{m} \end{array}

Berechnung der Durchmesser (zweite Zeile)

a) Hier ist der Radius gegeben. Der Durchmesser ist immer das Doppelte des Radius. Also gilt für den Durchmesser:

\displaystyle d = 2\cdot r = 2 \cdot 4{,}5\text{cm} = 9\text{cm}

d) Hier ist der Umfang gegeben. Die Formel für den Umfang ist: $U = d\cdot\pi$ . Um den Durchmesser zu ermitteln, setzt du den Umfang ein und stellst nach $d$ um:

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcll} 92{,}4\text{m} &=& d\cdot\pi &\vert :\pi \\\\ \dfrac{92{,}4\text{m}}{\pi} &=& d \\\\ d &\approx & 29{,}4\text{m} \end{array}

e) Hier ist wieder der Radius gegeben. Also ist der Durchmesser:

\displaystyle d = 2\cdot r = 2 \cdot 0{,}7\text{mm} = 1{,}4\text{mm}

Berechnung der Umfänge (dritte Zeile)

Hier kannst du jedesmal die Formel für den Umfang benutzen. Diese lautet:

\displaystyle U = d\cdot\pi = 2\cdot r\cdot \pi.

Je nach dem, ob der Radius $r$ oder der Durchmesser $d$ gegeben ist, setzt du den entsprechenden Wert in die Formel ein.

a) Gegeben ist der Radius.

\displaystyle U = 2\cdot r\cdot \pi = 2 \cdot 4{,}5\text{cm} \cdot \pi \approx 28{,}3 \text{cm}.

b) Gegeben ist der Durchmesser.

\displaystyle U = d\cdot \pi = 40\text{cm} \cdot \pi \approx 125{,}7\text{cm}

c) Gegeben ist der Durchmesser.

\displaystyle U = d\cdot \pi = 5{,}6\text{m} \cdot \pi \approx 17{,}6\text{m}

e) Gegeben ist der Radius.

\displaystyle U = 2\cdot r\cdot \pi = 2 \cdot 0{,}7\text{mm} \cdot \pi \approx 4{,}4 \text{mm}.

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	4,5 cm	20,0 cm	2,8 m	14,7 m	0,7 mm
Durchmesser d	9,0 cm	40,0 cm	5,6 m	29,4 m	1,4 mm
Umfang U	28,3 cm	125,7 cm	17,6 m	92,4 m	4,4 mm

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2

Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle (auf die erste Dezimalstelle gerundet).

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	1,5 cm	33,0 cm
Durchmesser d			2,4 m
Umfang U				71,6 m
Flächeninhalt					12,56 cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche

Berechnung der Kreisgrößen

Im Kreis gilt:

$\ U=2r\cdot\pi;\quad\ A=r^2\cdot\pi;\quad d=2r$

Berechnungen Spalte a.)

$\ d=2r\ \Rightarrow\ d=2\cdot1{,}5\ \text{cm}\$

$\ \boxed{d=3\ \text{cm}}$

$\ U=2r\cdot\pi\ \Rightarrow\ U=2\cdot1{,}5\ \text{cm}\cdot\pi$

$\ \boxed{U=9{,}4\ \text{cm}}$

$\ A=r^2\cdot\pi\ \Rightarrow\ A=2{,}25\ \text{cm}^2\cdot\pi$

$\ \boxed{A=7{,}1\ \text{cm}^2}$

Berechnungen Spalte b.) wie a.) jedoch $r=33{,}0\ \text{cm}$

Berechnungen Spalte c.)

$\ r=\dfrac{d}{2}\ \Rightarrow\ r=\dfrac{2{,}4\ \text{m}}{2}$

$\ \boxed{r=1{,}2\ \text{m}}$

$\ U=2r\cdot\pi\ \Rightarrow\ U=2\cdot1{,}2\ \text{m}\cdot\pi$

$\ \boxed{U=7{,}5\ \text{m}}$

$\ A=r^2\cdot\pi\ \Rightarrow\ A=1{,}44\ \text{cm}^2\cdot\pi$

$\ \boxed{A=4{,}5\ \text{m}^2}$

Berechnungen Spalte d.)

$\ U=2r\cdot\pi\ \Rightarrow\ 2r=\dfrac{U}{\pi}\ \Rightarrow\ 2r=\dfrac{71{,}6\text{\ m}}{\pi}$

$\ 2r=\boxed{d=22{,}8\text{\ m}}$

$\hspace{9mm}\boxed{r=11{,}4\text {\ m}}$

$\ A=r^2\cdot\pi\ \Rightarrow\ A=129{,}96\ \text{m}^2\cdot\pi$

$\ \boxed{A=408{,}3\text{\ m}^2}$

Berechnungen Spalte e.)

$\ A=r^2\cdot\pi\ \Rightarrow\ r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}\ \Rightarrow\ r=\sqrt{\dfrac{12{,}6\text{\ cm}^2}{\pi}}$

$\ \boxed{r=2{,}0\ \text{cm}}\ \Rightarrow\ d=\ 2\cdot2{,}0\text{\ cm}$

$\ \boxed{d=4{,}0\text{\ cm}}$

$\ U=2r\cdot\pi\ \Rightarrow\ U=2\cdot2{,}0 \text{\ cm}\cdot\pi$

$\ \boxed{U=12{,}6\text{\ cm}}$

Ergänze die Tabelle entsprechend.

	a)	b)	c)	d)	e)
Radius r	1,5 cm	33,0 cm	1,2 m	11,4 m	2,0 cm
Durchmesser d	3,0 cm	66,0 cm	2,4 m	22,8 m	4,0 cm
Umfang U	9,4 cm	207,3 cm	7,5 m	71,6 m	12,6 cm
Flächeninhalt A	7,1 cm²	3421,2 cm²	4,5 m²	408,3 m²	12,6 cm²

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3

Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.

Beachte bei der Eingabe der Ergebnisse ins entsprechende Eingabefeld auf Folgendes:

Gib die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma gerundet und ohne Einheit ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Umfang des Kreises: $U\;=\;2\cdot\pi\cdot r$
Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnitt mit $90^\circ$ .
Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens $U_{Kreisbogen}$ zu bestimmen.
$U_{Kreisbogen}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r$
Alternativ
$U_{Kreisbogen}\;=\;2\cdot\pi\cdot r \cdot \dfrac{90^\circ}{360^\circ}= \dfrac14\cdot2\cdot\pi\cdot r$
Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel für die Kreisbogenlänge mit dem Winkel $\varphi = 90^\circ$ verwenden.
Jetzt fehlen noch die 2 geraden Stücke. Diese haben gerade jeweils die Länge des Radius $r$ des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur $U_{Figur}$ zu bekommen.
$U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r\;+\;2\cdot r$
Jetzt muss nur noch für $r = 3 \, cm$ eingesetzt werden.
$U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot3\;+\;2\cdot3$
$U_{Figur}\;\approx\;10{,}7\,$
Das Ergebnis ist gerundet.
Der Umfang beträgt $10{,}7 \, cm$ ..
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Der Umfang der Figur $U_{Figur}$ besteht aus der Länge eines Kreisbogens mit dem Winkel $60^\circ$ und den 2 geraden Stücken.
Diese geraden Stücke haben gerade jeweils die Länge des Radius $r$ des Kreissektors. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreissektors addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu erhalten.
$U_{Figur}= 2\cdot3{,}7\cdot\mathrm\pi\cdot\cfrac{60^\circ}{360^\circ}+2\cdot3{,}7\approx 11{,}3$
Der Umfang beträgt $11{,}3 \, cm$ .
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Der Umfang dieser Figur $U_{Figur}$ besteht aus zwei geraden Stücken jeweils der Länge $5{,}8\,cm$ und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius $1{,}2\,cm$ .
Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius $1{,}2\,cm$ entsteht.
Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises ( $U_{Kreis}=2\cdot \pi \cdot r$ ) mit dem Radius $r= 1{,}2\,cm$ statt die Umfänge der zwei Halbkreise hernehmen.
$U_{gerade \, Stücke} = 2 \cdot 5{,}8$
$U_{Halbkreise}=U_{Kreis}= 2 \cdot \pi \cdot 1{,}2$
Ingesamt erhält man
$U_{Figur}=2\cdot5{,}8+2\cdot \pi \cdot 1{,}2\approx19{,}1%$
Der Umfang beträgt $19{,}1 \, cm$ .
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4

In einem Kreis mit Radius $r=5\mathrm{\cm}$ ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel $\varphi=45^\circ$ eingezeichnet.

Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

5

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von $1{,}20\ m$ . Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils $50\ cm$ breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens $15\ cm$ überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

	$\mathbf{Breite}$	$\mathbf{Länge}$
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{A}$	140 cm	260 cm
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{B}$	150 cm	250 cm
$\mathbf{Tischdecke}\ \mathbf{C}$	160 cm	240 cm

Tischdecke A
Tischdecke B
Tischdecke C

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Tischdecke A

Damit die Tischdecke an allen Seiten $15\ cm$ übersteht, muss sie um $30\ cm$ länger und breiter sein, als der Tisch.

$b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm$

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

$140\ cm-120\ cm=20\ cm$

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten $30\ cm$ .

$20~cm\leq30\;cm$

⇒ Also fällt Tischdecke A weg.

Tischdecke B

$150~cm-120~cm\;=30\;cm$

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

$30\ cm\ge30\ cm$

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

$l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30~cm$

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

$250\ cm-\left(2\cdot60\ cm+2\cdot50\ cm\right)=$ $250\ cm-220\ cm\ge30\ cm\$

$30\ cm=30\ cm$

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um $30\ cm$ über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als $30\ cm$ über, da der Tisch abgerundet ist. $\Rightarrow$ Das heißt: Tischdecke B ist ideal.

Prüfe Tischdecke C

Zuerst wird die Breite überprüft.

$160\ cm-120\ cm\ge30\ cm$

$40\ cm\ge30\ cm$

⇒ Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

$240\ cm-220\ cm\ge30\ cm$

$20\ cm\le30\ cm$

⇒ Jedoch ist sie nicht lang genug, um $30\ cm$ überzustehen.

$\Rightarrow$ Deshalb ist auch C nicht geeignet.

A: Tischdecke B eignet sich.

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$\displaystyle b$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\pi\cdot r\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r=5\;\text{cm}$ und $\varphi =45^\circ$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\pi\cdot5\;\text{cm}\cdot\frac{45^\circ}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{4}\pi\;\text{cm}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 3{,}93\;\text{cm}$

$\displaystyle A_S$	$=$	$\displaystyle \pi\cdot r^2\cdot\frac{\alpha}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r=5\;\text{cm}$ und $\varphi =45^\circ$ ein.
	$=$	$\displaystyle \pi\cdot \left(5\;\text{cm}\right)^2\cdot\frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{25}{8}\pi\;\text{cm}^2$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 9{,}82\;\text{cm}^2$

$\displaystyle U_{vergrößerte\;Tischplatte}$	$=$	$\displaystyle 2\cdot r\cdot \pi +2\cdot 2\cdot b$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot 0{,}6\cdot \mathrm{\pi }+4\cdot 0{,}5$
	$=$	$\displaystyle 5{,}77\ \text{m}$

$\displaystyle A_{vergrößerte\;Tischplatte}$	$=$	$\displaystyle r^2\cdot \mathrm{\pi }+2\cdot \left(b\cdot l\right)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6^2\cdot \mathrm{\pi }+2\cdot \left(0{,}5\cdot 1{,}2\right)$
	$=$	$\displaystyle 2{,}33\ \text{m}^2$

Berechnung der Radien (erste Zeile)

Berechnung der Durchmesser (zweite Zeile)

Berechnung der Umfänge (dritte Zeile)

Berechnung der Kreisgrößen

Ergänze die Tabelle entsprechend.

Alternativ

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Tischdecke A

Tischdecke B

Prüfe Tischdecke C

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