- Kreiszahl; Umfang und Flächeninhalt des Kreises - Kreisbogen und Kreissektor

Aufgaben
Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle. Runde dabei auf eine Stelle nach dem Komma.

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a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

4,5 cm

0,7 mm

Durchmesser d

40,0 cm

5,6 m

Umfang U

92,4 m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Aufgabe zu lösen. Eine ist, die Spalten der Tabelle durchzugehen und alle fehlenden Größen zu bestimmen. Eine andere Möglichkeit ist, die Zeilen durchzugehen. Zudem kannst du immer auch Zwischenergebnisse weiterverwenden, oder nur mit den Angaben aus der Tabelle rechnen.

In dieser Lösung werden die Zeilen durchgegangen.

Berechnung der Radien (erste Zeile)

b) Hier ist der Durchmesser des Kreises gegeben. Der Radius ist immer die Hälfte des Durchmessers. Also gilt für den Radius:
r=d2=40,0cm2=20,0cm\displaystyle r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{40,0\text{cm}}{2} = 20,0\text{cm}
c) Hier ist auch der Durchmesser gegeben. Den Radius berechnest du genau wie bei b):
r=d2=5,6m2=2,8m\displaystyle r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{5,6\text{m}}{2} = 2,8\text{m}
d) Hier ist der Umfang des Kreises gegeben. Die Formel für den Umfang des Kreises ist: U=dπ=2rπU = d \cdot \pi = 2\cdot r\cdot \pi. Um den Radius des Kreises zu ermitteln, kannst du den Wert für den Umfang einsetzen und dann die Formel umstellen:
92,4m=2rπ:2:π92,4m2π=rr14,7m\displaystyle \begin{array}{rclll} 92,4\text{m} &=& 2\cdot r\cdot \pi &\vert :2 &\vert :\pi \\\\ \dfrac{92,4\text{m}}{2\cdot\pi} &=& r\\\\ r &\approx & 14,7\text{m} \end{array}

Berechnung der Durchmesser (zweite Zeile)

a) Hier ist der Radius gegeben. Der Durchmesser ist immer das Doppelte des Radius. Also gilt für den Durchmesser:
d=2r=24,5cm=9cm\displaystyle d = 2\cdot r = 2 \cdot 4,5\text{cm} = 9\text{cm}
d) Hier ist der Umfang gegeben. Die Formel für den Umfang ist: U=dπU = d\cdot\pi. Um den Durchmesser zu ermitteln, setzt du den Umfang ein und stellst nach dd um:
92,4m=dπ:π92,4mπ=dd29,4m\displaystyle \begin{array}{rcll} 92,4\text{m} &=& d\cdot\pi &\vert :\pi \\\\ \dfrac{92,4\text{m}}{\pi} &=& d \\\\ d &\approx & 29,4\text{m} \end{array}
e) Hier ist wieder der Radius gegeben. Also ist der Durchmesser:
d=2r=20,7mm=1,4mm\displaystyle d = 2\cdot r = 2 \cdot 0,7\text{mm} = 1,4\text{mm}

Berechnung der Umfänge (dritte Zeile)

Hier kannst du jedesmal die Formel für den Umfang benutzen. Diese lautet:
U=dπ=2rπ.\displaystyle U = d\cdot\pi = 2\cdot r\cdot \pi.
Je nach dem, ob der Radius rr oder der Durchmesser dd gegeben ist, setzt du den entsprechenden Wert in die Formel ein.

a) Gegeben ist der Radius.
U=2rπ=24,5cmπ28,3cm.\displaystyle U = 2\cdot r\cdot \pi = 2 \cdot 4,5\text{cm} \cdot \pi \approx 28,3 \text{cm}.
b) Gegeben ist der Durchmesser.
U=dπ=40cmπ125,7cm\displaystyle U = d\cdot \pi = 40\text{cm} \cdot \pi \approx 125,7\text{cm}
c) Gegeben ist der Durchmesser.
U=dπ=5,6mπ17,6m\displaystyle U = d\cdot \pi = 5,6\text{m} \cdot \pi \approx 17,6\text{m}
e) Gegeben ist der Radius.
U=2rπ=20,7mmπ4,4mm.\displaystyle U = 2\cdot r\cdot \pi = 2 \cdot 0,7\text{mm} \cdot \pi \approx 4,4 \text{mm}.

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a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

4,5 cm

20,0 cm

2,8 m

14,7 m

0,7 mm

Durchmesser d

9,0 cm

40,0 cm

5,6 m

29,4 m

1,4 mm

Umfang U

28,3 cm

125,7 cm

17,6 m

92,4 m

4,4 mm

Ermittle die fehlenden Größen in der Tabelle (auf die erste Dezimalstelle gerundet).

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a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

1,5 cm

33,0 cm

Durchmesser d

2,4 m

Umfang U

71,4 m

Flächeninhalt

12,56 cm²

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreise und Kreisteile

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a)

b)

c)

d)

e)

Radius r

1,5 cm

33,0 cm

1,2 m

11,4 m

2,0 cm

Durchmesser d

3,0 cm

66,0 cm

2,4 m

22,8 m

4,0 cm

Umfang U

9,4 cm

207,3 cm

7,5 m

71,6 m

12,6 cm

Flächeninhalt A

7,1 cm²

3421,2 cm²

4,5 m²

408,3 m²

12,6 cm²

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von 1,20 m. Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils 50 cm breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

 

  1. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

  2. Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens 15 cm überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

 

 

Breite

Länge

Tischdecke A

140 cm

260 cm

Tischdecke B

150 cm

250 cm

Tischdecke C

160 cm

240 cm

Teilaufgabe 1

Berechnungen am Kreis

%%U_{vergrößerte\;Tischplatte}=2\cdot r\cdot\pi+2\cdot2\cdot b%%

Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite %%b%% der zwei gleichen Rechtecke zusammen.

%%=\;2\cdot0,6\cdot\mathrm\pi+4\cdot0,5%%

%%\approx5,77\;m%%

 

%%A_{vergrößerte\;Tischplatte}=\;r^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(b\cdot l\right)%%

Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge %%l%% der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.

%%=\;0,6^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(0,5\cdot1,2\right)%%

 

%%=2,33\;m^2%%

 

Teilaufgabe 2

Tischdecke A

 

Damit die Tischdecke an allen Seiten %%15cm%% übersteht, muss sie um %%30cm%% länger und breiter sein, als der Tisch.

%%b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm%%

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

%%140cm-120cm=20cm%%

 

%%20cm\leq30\;cm%%

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten %%30cm%%.

%%\Rightarrow%% Also fällt Tischdecke A weg.

 

Tischdecke B

 

%%150cm-120cm\;=30\;cm%%

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

%%30cm\geq30cm%%

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

%%l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30cm%%

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

%%250cm-\left(2\cdot60cm+2\cdot50cm\right)=%%

 

%%250cm-220cm\geq30cm%%

 

%%30cm=30cm%%

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um %%30cm%% über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als %%30cm%% über, da der Tisch abgerundet ist.
%%\Rightarrow%% Dass heißt: Tischdecke B ist ideal. 

Prüfe Tischdecke C

 

Zuerst wird die Breite überprüft.

%%160cm-120cm\geq30cm%%

%%40cm\geq30cm%%

%%\Rightarrow%% Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

%%240cm-220cm\geq30cm%%

 

%%20cm\leq30cm%%

%%\Rightarrow%% Jedoch ist sie nicht lang genug, um %%30cm%% über zu stehen.

%%\Rightarrow%% Deshalb ist auch C nicht geeignet. 

A: Tischdecke B eignet sich.

Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.
Beachte bei der Eingabe der Ergebnisse ins entsprechende Eingabefeld auf Folgendes:
Gib die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma gerundet und ohne Einheit ein.
Fläche eines Viertelkreises


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Umfang des Kreises: U  =  2πrU\;=\;2\cdot\pi\cdot r
Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnitt mit 9090^\circ.
Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens UKreisbogenU_{Kreisbogen} zu bestimmen.
UKreisbogen  =  142πrU_{Kreisbogen}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r

Alternativ

UKreisbogen  =  2πr90360=142πrU_{Kreisbogen}\;=\;2\cdot\pi\cdot r \cdot \dfrac{90^\circ}{360^\circ}= \dfrac14\cdot2\cdot\pi\cdot r
Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel für die Kreisbogenlänge mit dem Winkel φ=90\varphi = 90^\circ verwenden.
Jetzt fehlen noch die 2 geraden Stücke. Diese haben gerade jeweils die Länge des Radius rr des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur UFigurU_{Figur} zu bekommen.
UFigur  =  142πr  +  2rU_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r\;+\;2\cdot r
Jetzt muss nur noch für r=3cmr = 3 \, cm eingesetzt werden.
UFigur  =  142π3  +  23U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot3\;+\;2\cdot3
UFigur    10,7U_{Figur}\;\approx\;10,7\,
Das Ergebnis ist gerundet.
Der Umfang beträgt 10,7cm10,7 \, cm..
Fläche eines Sechstel-Kreises


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Fläche eines Sechstel-Kreises
Der Umfang der Figur UFigurU_{Figur} besteht aus der Länge eines Kreisbogens mit dem Winkel 6060^\circ und den 2 geraden Stücken.
Diese geraden Stücke haben gerade jeweils die Länge des Radius rr des Kreissektors. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreissektors addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu erhalten.
UFigur=23,7π60360+23,711,3U_{Figur}= 2\cdot3,7\cdot\mathrm\pi\cdot\cfrac{60^\circ}{360^\circ}+2\cdot3,7\approx 11,3
Der Umfang beträgt 11,3cm11,3 \, cm.
Flächenberechnung am Rechteck mit zwei fehlenden Halbkreisen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Flächenberechnung am Rechteck mit zwei fehlenden Halbkreisen
Der Umfang dieser Figur UFigurU_{Figur} besteht aus zwei geraden Stücken jeweils der Länge 5,8cm5{,}8\,cm und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius 1,2cm1{,}2\,cm.
Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius 1,2cm1{,}2\,cm entsteht.
Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises (UKreis=2πrU_{Kreis}=2\cdot \pi \cdot r) mit dem Radius r=1,2cmr= 1{,}2\,cm statt die Umfänge der zwei Halbkreise hernehmen.
UgeradeStu¨cke=25,8U_{gerade \, Stücke} = 2 \cdot 5,8
UHalbkreise=UKreis=2π1,2U_{Halbkreise}=U_{Kreis}= 2 \cdot \pi \cdot 1,2
Ingesamt erhält man
UFigur=25,8+2π1,219,1U_{Figur}=2\cdot5,8+2\cdot \pi \cdot 1,2\approx19,1% 
Der Umfang beträgt 19,1cm19,1 \, cm.
In einem Kreis mit Radius  r=5cmr=5\mathrm{cm} ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel φ=45\varphi=45^\circ eingezeichnet.
Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor

Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.
r=5 cmr=5\text{ cm}
φ=45\varphi=45^\circ
Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.
b=π5cm45180=54πcm3,93cmb=\pi\cdot5\text{cm}\cdot\frac{45^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{5}{4}\pi\text{cm}\approx3,93\text{cm}
Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.
Aks=125cm54πcm=258πcm29,82cm2A_{ks}=\frac{1}{2}\cdot5\text{cm}\cdot\frac{5}{4}\pi\text{cm}=\frac{25}{8}\pi\text{cm}^2\approx9,82\text{cm}^2
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