Wir wollen die Ableitung von Polynomfunktionen mit folgender Form betrachten:

%%f\left(x\right)=x^n ,\; n\in\mathbb{N}%%

Diese Funktion kannst du ableiten, indem du f(x) mit n multiplizierst und anschließend den Exponenten n um eins verringerst.

%%f'\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}%%

Beispiele

$$f(x) = x^3$$ $$f(x) = 3 \cdot x^5$$ $$f(x) = \frac{1}{2} \cdot x$$
$$f(x) = 4$$

$$f'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3 \cdot x^2$$ $$f'(x) = 3 \cdot 5 \cdot x^{5-1} = 15 \cdot x^4$$ Es gilt: %%f(x) = \frac{1}{2} \cdot x^1%%

Also: %%f'(x) = 1 \cdot \dfrac12 \cdot x^{1-1} = \dfrac12 \cdot x^0 = \dfrac12%%

Es gilt: %%f(x) = 4 \cdot x^0%%

Also: %%f'(x) = 4 \cdot 0 \cdot x^{0-1} = 0%%

Exkurs: rationale Exponenten

Die Regel gilt auch, wenn sich Bruchzahlen im Exponenten befinden. In dieser Situation können die Potenzgesetze nützlich sein, um die Ableitungsfunktion schöner aufzuschreiben:

$$f(x)= x^\frac 35$$

%%\Rightarrow f'(x)= \dfrac 3 5 x^{-\frac{2}{5}}=\dfrac 3{5x^\frac 2 5}=\dfrac 3 {5\sqrt[5]{x^2}}%%

Mit diesem Wissen können also auch Wurzeln einfach abgeleitet werden:

$$f(x)=\sqrt[3]{x^4}=x^\frac 4 3$$

%%\Rightarrow f'(x)=\dfrac 4 {3x^\frac 13}=\dfrac 4 {3\sqrt[3]x}%%

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