Die Quotientenregel bietet eine Möglichkeit, die Ableitung eines Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen %%u%% und %%v%% zu berechnen:

$$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)'=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$

Video zur Quotientenregel

1. Merkregel "NAZ minus ZAN"

Als Merkregel für den Zähler lässt sich die Kurzform "NAZ minus ZAN" für

"Nenner ("N") mal Ableitung des Zählers ("AZ") minus Zähler ("Z") mal Ableitung des Nenners ("AN"))" benutzen.

2. Merkregel "AZN minus ANZ"

Eine weitere Merkregel für den Zähler ist die Kurzform "AZN minus ZAN":

Ableitung des Zählers ("AZ") mal Nenner ("N") minus Ableitung des Nenners ("AN2) mal Zähler ("Z")

Wie kann man sich "AZN minus ANZ" merken?

Zum Beispiel: "Quotienten sind Atzen minus"

Beispiel 1

Mit der Quotientenregel ergibt sich die Ableitung von %%f(x)=\left(\frac{\sin(x)}{x^2}\right)%% als

$$f'(x)=\frac{(\sin(x))' \cdot x^2-(x^2)' \cdot\sin(x)}{\left(x^2\right)^2}=\frac{\cos(x)\cdot x^2-2x \cdot \sin(x)}{x^4}=\frac{x(x\cos(x) -2\sin(x))}{x^4} = \frac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}$$

Beispiel 2

Berechne die Ableitung von %%f(x) = \tan(x)%%.

Der Tangens ist nach Definition der Quotient aus %%\sin(x)%% und %%\cos(x)%%.

$$\tan'(x)= \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)'$$

Man kann also die Quotientenregel anwenden.

$$=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$

 

Dieser Term lässt sich auf zwei verschiedene Arten weiter vereinfachen:

 

Entweder man zieht den Bruch auseinander, …

$$\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$$

… kürzt den Bruch und wendet die Definition des Tangens an.

$$= 1 + \left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 = 1 + \tan^2(x)$$

Eine andere Möglichkeit bietet die Verwendung Eigenschaft %%\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1%%.

$$\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)}$$

weitere Beispielaufgaben

 

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Zu article Quotientenregel: Merkregel
CutterSlade 2015-03-17 12:13:18
Hallo zusammen, hallo Renate.
Ich kannte die Merkregel gar nicht und habe die Abkürzungen promt falsch gelesen, daher meine Bearbeitung. Es liegt daran das man sowohl NAZ als auch ZAN auf 2 Weisen lesen kann. Z.B.: NAZ: Nenner-Ableitung mal Zähler ODER Nenner mal Ableitung (des) Zählers. Ich schlage deshalb vor die Abkürzungen in AZN minus ANZ zu ändern. Diese lassen sich zwar nicht so schön aussprechen, aber zu einer Verwechslung kann es nicht kommen. Ich habe mir gleich eine Eselsbrücke gebaut die nur noch soviel heißt wie "Quotienten sind Atzen minus" so komme ich dann auf "AZN minus" und merke mir noch das nach dem Minus das A vorne bleibt und das Z und N aus AZN nur noch vertauscht werden müssen.
Ich glaube euch wenn ihr sagt so hab ich das aber nicht gelernt und Lehrer bringen Schülern das schon immer so bei. ABER eine der ersten Sachen die man uns im Studium beigebracht hat ist nicht auf die "Altvorderen" zu hören wenn sie sagen "Das haben wir schon immer so gemacht". So gibt es keinen Fortschritt. Außerdem ist doch der Vorteil einer "offenen und freien" Plattform der, dass man nicht das machen muss wie alle anderen es schon immer gemacht machen sondern wie man es für richtig hält.

P.S.: Ich finde die Plattform optisch und funktionell toll und wünsche mir das sie sich weiter entwickelt.


Danke falls ihr so weit gelesen habt ;D

LG

Patrick
Hannes 2015-03-19 10:45:42
Hi Patrick,
ich finde deine Idee sehr gut. Lustige Eselsbrücken helfen mir besonders! Des Weiteren entspricht deine Merkregel der Reihenfolge in der Formel. Trotzdem würde ich die die aktuelle Merkregel auch im Artikel stehen lassen, da sie offenbar sehr bekannt ist.
Darum mein Vorschlag:
Können wir nicht einfach beide Merkregeln anbieten. Ich denke da an ein 2-spaltiges Layout, in welchem auf einer Seite die aktuelle Merkregel und in der anderen deine Idee erklärt wird?
Was hältst du davon?
LG
Hannes
CutterSlade 2015-03-19 14:29:09
Sehr Gute Idee Hannes ich suche mir aus Büchern auch immer die Erklärung raus die ich am Besten verstehe. Ich finde hier sollte man die gleiche Möglichkeit haben nur ohne 5 verschiedene Bücher zu studieren.
Hannes 2015-03-19 16:23:41
cool! willst du den Artikel überarbeiten oder soll ich das machen?
Hannes 2015-03-23 14:25:08
habs gemacht ;)