Rechteck einbeschreiben
Dem abgebildeten Dreieck soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt einbeschrieben werden.
Berechne den größtmöglichen Flächeninhalt.
Bei dieser Aufgabe ist einem Dreieck ein größtmögliches Rechteck einzubeschreiben. Es handelt sich also um eine Extremwertaufgabe
Ein Rechteck einer anderen geometrischen Figur "einzubeschreiben", bedeutet, dass alle Eckpunkte des einzubeschreibenden Rechtecks auf den Randlinien der größeren Figur liegen sollen.
einbeschriebene Figuren
Wenn ein Rechteck einem Dreieck einbeschrieben ist, muss mindestens eine Rechtecksseite auf einer Dreiecksseite liegen.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck können zwei Rechtecksseiten auf den Katheten liegen.
Stumpfwinkligen Dreiecken können Rechtecke nur über der längsten Seite einbeschrieben werden.
Rechtecke im stumpfwinkligen Dreieck
Wenn du eine Rechtecksseite auf die Grundlinie des Dreiecks legst, bedeutet die Forderung des "Einbeschreibens", dass die beiden weiteren Rechteckspunkte PP und QQ jeweils auf den anderen Seiten des Dreiecks liegen. Dies ergibt zwei Nebenbedingungen für die Extremwertaufgabe.
Da der Flächeninhalt maximiert werden soll, benötigst du zunächst als Zielfunktion die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks, in die du dann die Nebenbedingungen "einarbeiten" musst.
Rechteck in Dreieck
Zielfunktion
A(a;b)=abA(a;b)=a\cdot b \quadmita=xPxQ  (daxQ<0)\quad a=x_P\color{red}{-}x_Q\;(\text{da}\,x_Q<0)
  und    b=yP\quad\quad\quad\;\,\quad\quad\quad \text{und}\;\;\, b=y_P\quadalso:
A(xP;yP;xQ)=(xPxQ)yPA(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_P
1. Nebenbedingung
P(xPyP)P(x_P|y_P) liegt auf der Geraden pp.
Stelle die Gerade pp auf.
mP=4006=23\displaystyle m_P=\frac{4-0}{0-6}=-\frac23
t=4t=4
(1)  p:yP=23xP+4\Rightarrow\,(1)\;p:\,y_P=-\frac23\cdot x_P+4
Gib die 2. Nebenbedingung an.
2. Nebenbedingung
Q(xQyP)Q(x_Q|\color{red}{y_P}) liegt auf der Geraden qq.
Stelle die Gerade qq auf.
mQ=400+2=+2\displaystyle m_Q=\frac{4-0}{0+2}=+2
t=4t=4
  (2)  q:yP=2xQ+4\Rightarrow\;(2)\;q:\,y_P=2\cdot x_Q+4
Löse nach xQx_Q auf.
xQ=0,5yP2x_Q=0,5\cdot y_P-2
Setze für yPy_P aus (1) ein.
xQ=0,5(23xP+4)2x_Q=0,5(-\frac23 x_P+4)-2
xQ=13xPx_Q=-\frac13 \cdot x_P

Setze yP=23xP+4y_P=-\frac23 \cdot x_P+4 und xQ=13xPx_Q=-\frac13 \cdot x_P in die Zielfunktion A(xP;yP;xQ)=(xPxQ)yPA(x_P;y_P;x_Q)=(x_P-x_Q)\cdot y_P ein, um die Zielfunktion in Abhängigkeit der einzigen Variablen xPx_P zu erhalten.
%%\displaystyle\begin{align}A(x_P)&=(x_P+\frac13 x_P)\cdot (-\frac23 x_P+4)\\&=\frac43 x_P\cdot (-\frac23 x_P+4)\\A(x_P)&=-\frac89x_P^2+\frac{16}{3}x_P\end{align}%%
D=]0;6[\mathbb{D}=]0;6[
Bilde die Ableitung A(xP)A'(x_P).
A(xP)=169xP+163\displaystyle A'(x_P)=-\frac{16}{9}x_P+\frac{16}{3}
Setze A(xP)A'(x_P) gleich Null und löse die Gleichung.
%%\begin{align}\displaystyle -\frac {16}{9} x_P+\frac{16}{3}&=0\;|\cdot-\frac{9}{16}\\x_P-3&=0\\x_P&=3\end{align}%%
Überprüfe mit der 2. Ableitung, ob sich für xP=3x_P=3 tatsächlich ein Maximum ergibt.
A(x)=169A''(x)=-\frac{16}{9}
A(x)A''(x) ist eine konstante Funktion. Somit ist auch A(3)<0A''(3)<0 und xP=3x_P=3 ergibt eine größtmögliche Rechtecksfläche.
Setze xP=3x_P=3 in die Fläche A(xP)A(x_P) ein.
Flächeninhalt:
A(xP)=89xP2+163xP\displaystyle A(x_P)=-\frac89\cdot x_P^2 +\frac{16}{3}\cdot x_P
\Rightarrow
A(3)=899+1633=8\displaystyle A(3)=-\frac89 \cdot 9+\frac{16}{3} \cdot 3=8
Setze xP=3x_P=3 auch noch in die 1. Nebenbedingung ein, um die 2. Koordinate des Eckpunktes P zu erhalten.
Nebenbedingung:
yP=23xP+4\displaystyle y_P=-\frac23 \cdot x_P+4
yP=233+4=2\Rightarrow\quad y_P=-\frac23 \cdot 3+4=2

Ergebnis:
Mit dem Eckpunkt P(32)P(3|2) ist das größtmögliche Rechteck in das Dreieck einbeschrieben und hat den Flächeninhalt 8LE28\,\text{LE}^2.

Alternative Lösung 1

Der Graph der Zielfunktion A(x)=89x2+163x,D=]0;6[\displaystyle A(x)=-\frac89 x^2+\frac{16}{3}x,\quad\mathbb{D}=]0;6[
ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Ihr Maximum ist der Scheitelpunkt. Diesen kann man - außer über die Ableitung von A(x)A(x) - durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.
Graphische Veranschaulichung
Lösungsparabel
A(x)=89x2+163x\displaystyle A(x)= -\frac89x^2+\frac{16}{3}x
Klammere 89\displaystyle -\frac89 aus.
=89(x26x)\displaystyle\quad \quad= -\frac 89 (x^2-6x)
quadratisch ergänzen
=89(x26x+32)+8\displaystyle \quad\quad= -\frac89 (x^2-6x \color{red}{+3^2})\color{red}{+8}
A(x)=89(x3)2+8\displaystyle A(x)= -\frac89 (x-3)^2+8
Lies den Scheitelpunkt ab.
S(38)\Rightarrow\quad S(3|8)
Dessen 2. Koordinate liefert den gesuchten maximalen Flächeninhalt eines dem Dreieck einbeschriebenen Rechtecks.
Amax=8  LE2A_{max}=8\;\text{LE}^2
Im nachfolgenden Applet kannst du durch Verschieben des Punktes P das Ergebnis kontrollieren.
GeoGebra

Alternative Lösung 2

Die gestellte Aufgabe lässt eine verblüffend einfache Lösung zu. Dabei wird das Koordinatensystem nicht benötigt, sondern sie ergibt sich aus dem Strahlensatz.
Entscheidend für diese Möglichkeit ist, dass vom Dreieck ABCABC neben der Grundlinie AB=8LE\overline{AB}=8\,\text{LE} die Höhe auf diese Seite mit h=y(C)=4LEh=y(C)=4\,\text{LE} gegeben ist.
Zielfunktion ist die Formel für die Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen aLEa\,LE und bLEb\,LE. Also:
A(a;b)=abA(a;b)=a\cdot b
Grafische Veranschaulichung
Strahlensatzfigur
Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz
Benutze den Strahlensatz.
a8=4b4\displaystyle \frac a8=\frac{4-b}{4}
Löse nach bb auf.
b=12a+4b=-\frac 12 a + 4
Setze bb in A(a;b)A(a;b) ein.
A(a)=a(12a+4)A(a)=a\cdot (-\frac 12 a+4)
A(a)=12a2+4aA(a)=-\frac 12 a^2+4a

Die Zielfunktion A(a)A(a) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Deshalb ergibt die y-Koordinate des Scheitelpunktes den maximal möglichen Flächeninhalt einbeschriebener Rechtecke.
Den Scheitelpunkt berechnest du über die Ableitung von A(a)A(a) oder mit einer quadratischen Ergänzung.
Ableitung von A(a)A(a)
A(a)=a+4A'(a)=-a+4
A(a)=0a=4A'(a)=0\,\Rightarrow\,a=4
Amax=8\Rightarrow\,A_{max}=8
quadratische Ergänzung
A(a)=12(a28a+42)+8A(a)=-\frac{1}{2}(a^2-8a\color{red}{+4^2})\color{red}{+8}
=12(a4)2+8=-\frac 12(a-4)^2+8
S(48)\Rightarrow\,S(4|8)

Vertiefung der Aufgabe

In der gegebenen Aufgabenstellung soll das Rechteck dem Dreieck ABCABC so einbeschrieben werden, dass eine Rechteckseite auf der Grundseite [AB][AB] liegt.
Natürlich kann man Rechtecke auch so einbeschreiben, dass eine Rechteckseite auf einer der beiden anderen Dreieckseiten liegt.
Dann stellt sich die Frage: Haben die maximal möglichen Flächeninhalte auch bei den beiden anderen Lagen den gleichen Wert?
Dass dies tatächlich so ist, kannst du am folgenden Applet nachvollziehen, indem du die unterschiedlichen Gleitpunkte P1P_1, P2P_2 oder P3P_3 verschiebst.
GeoGebra