Bestimme 5\sqrt 5 mit Hilfe des Newton-Verfahrens auf drei Dezimalstellen genau.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Newtonschen Näherungsverfahren

Tipp: Finde eine Funktion, für die 5\sqrt{5} eine Nullstelle ist.
Du sollst das Newton-Verfahren verwenden, um 5\sqrt 5 zu bestimmen. Das Newton-Verfahren dient dazu, Nullstellen von Funktionen zu bestimmen. Zunächst benötigst du also eine Funktion f(x)f(x), die 5\sqrt 5 als Nullstelle hat, also f(5)=0f(\sqrt 5) = 0 erfüllt.
5\sqrt 5 ist die Zahl, für die 52=5\sqrt{5}^2 = 5 gilt, also auch 525=0\sqrt{5}^2 - 5 = 0. Ein guter Kandidat für die gesuchte Funktion ist daher f(x)=x25f(x) = x^2 - 5. (Es gibt unendlich viele weitere Möglichkeiten, dies ist nur die einfachste.)
Im Newton-Verfahren wendest du Iterationen der Rekursionsformel
xn+1=xnf(xn)f(xn)\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
an. Berechne dafür die Ableitung von ff, sie lautet f(x)=2xf'(x) = 2x. Die Rekursionsformel des Newton-Verfahren für diese Aufgabe lautet also
xn+1=xnxn252xn.\displaystyle x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 5}{2x_n}.
Erstelle nun eine Wertetabelle, um den Startwert für das Verfahren in die Nähe der Nullstelle zu bringen. Bedenke, dass du nur positive Werte betrachten musst, da die Wurzel immer positiv ist.

%%x%%

1

2

3

%%f(x)%%

-4

-1

4

Du siehst, dass die Nullstelle zwischen 2 und 3 liegt. Dort wechselt ff sein Vorzeichen. Teste nun noch den Mittelwert 2,5: f(2,5)=1,25f(2,5) = 1,25.
Das bedeutet, dass die Nullstelle 5\sqrt 5 im Intervall ]2;2,5[]2; 2,5[ liegt.
Jeder Startwert im Intervall ]2;2,5[]2; 2,5[ ist sinnvoll, z.B. x0=2x_0 = 2. Setze diesen in die Rekursionsformel ein:
x1=x0x0252x0=222522=2,25\displaystyle x_1 = x_0 - \frac{x_0^2 - 5}{2x_0} = 2 - \frac{2^2-5}{2\cdot2} = 2,25
Setze den neuen Wert nun so lang in die Rekursionsformel ein, bis du die gewünschte Genauigkeit erhältst:
x2=x1x1252x1=2,252,252522,25=16172=2,2361ˉ\displaystyle x_2 = x_1 - \frac{x_1^2 - 5}{2x_1} = 2,25 - \frac{2,25^2-5}{2\cdot2,25} = \frac{161}{72}=2,236\bar1
x3=x2x2252x2=16172(16172)252161722,236068\displaystyle x_3 = x_2 - \frac{x_2^2 - 5}{2x_2} = \frac{161}{72} - \frac{\left(\frac{161}{72}\right)^2 - 5}{2\cdot \frac{161}{72}} \approx 2,236068
Du siehst, dass sich in den letzten beiden Iterationen nur noch die vierte Nachkkommastelle geändert hat.
Somit erhältst du, dass f(2,236)0f(2,236) \approx 0, und damit auch 52,236\sqrt 5 \approx 2,236.