Das Newton-Verfahren dient zur Annäherung an Nullstellen; durch das immer wieder neu Einsetzen des Ergebnisses in die Newton-Formel nähert man die Nachkommastellen der Nullstelle immer mehr an. Diese Art von Verfahren nennt man Iterationsverfahren.

Iterationsformel: %%x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}%%

Das Newton-Verfahren

Da gewisse Nullstellen nicht genau bestimmbar sind, wird das Newton-Verfahren eingesetzt, um Nullstellen anzunähern. Um diese zu berechnen, benötigst du die Ableitung.

Beispiel:

Nullstelle von %%f(x)=x³+4x-4%%

Überprüfe, ob du nicht andere Lösungswege benutzen kannst!

hier Klicken

Nutze das Newton-Verfahren nur, wenn es keine andere Lösungsmöglichkeit zur Bestimmung deiner Nullstelle gibt, da du dich mit diesem Verfahren der Nullstelle nur annäherst.

Nutze, wenn es möglich ist:

%%\cdot%%Termumformungen und Ausklammern
%%\cdot%%Mitternachtsformel
%%\cdot%%pq-Formel
%%\cdot%%Systematisches Probieren (Notfalls)

Iterationsformel

Dies bedeutet, dass Ergebnisse eines Schrittes wieder als Ausgangswert für den jeweils nächsten Schritt genommen werden. Dies kannst du in der Graphik mit der Rechenmaschine erkennen.

Formel:

%%x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}%%

Beispiel:

  • %%f(x)=x^3+4x-4%%

  • %%f'(x)=3x^2+4%%

  • %%x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3+4x_n-4}{3x_n^2+4}%%

So erhältst du %%x_0%%:

Falls du ein Intervall gegeben hast, in dem deine Nullstelle liegt, bietet es sich an die Mitte des Intervalls zu wählen

Beispiel:
Die Nullstelle liegt im Intervall %%[2;4]%% %%\Rightarrow%% Wähle also %%x_0=3%%

Falls kein Intervall gegeben ist, kannst du %%x_0%% durch eine Wertetabelle bestimmen, eine Skizze kann dir ebenfalls helfen, notfalls kannst du auch raten. Das Newton-Verfahren kann aber auch schief gehen, wenn du als %%x_0%% eine Extremstelle wählst.Falls dein %%x_0%% sehr weit von der Nullstelle entfernt ist, brauchst du sehr, sehr viele Iterationsschritte. Du versuchst also dein %%x_0%% möglichst nahe der Nullstelle zu wählen.

Bestimmung von %%x_0%% durch eine Wertetabelle:

  • Lege eine Wertetabelle der Funktion %%f(x)%% an mit %%x%%- Werten, in deren Umgebung du die Nullstelle vermutest.(Eine Skizze hilft dir.)

  • Suche nach einem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte.

  • Die Nullstelle liegt zwischen den %%x%%-Werten, deren Funktionswerte einen Vorzeichenwechsel haben.

Beispiel:

%%f(x)=x^3+4x-4%%

%%-4%%

%%-3%%

%%-2%%

%%-1%%

%%0%%

%%1%%

%%2%%

%%3%%

%%4%%

%%-84%%

%%-43%%

%%-20%%

%%-9%%

%%-4%%

%%1%%

%%12%%

%%35%%

%%76%%

Vorzeichenwechsel im Intervall %%x\in[0;1]\Rightarrow%% wähle z.B. %%x_0=0,5%%

So erhältst du deine angenäherte Lösung:

Je länger du das Verfahren anwendest desto näher kommst du an die Nullstelle. Ein Ziel deiner Näherung könnte sein, die ersten drei Nachkommastellen korrekt zu bestimmen. Wenn sich nach mehreren Iterationsschritten deine drei Nachkommastellen nicht mehr ändern, kannst du davon ausgehen, dass du am Ziel bist.

Beispiel:

%%x_2\approx\color{#009900 }{0,84}86187342%%

%%x_3\approx\color{#009900 }{0,847707}9411%%

%%x_4\approx\color{#009900 }{0,8477075981}%%

%%x_5\approx\color{#009900 }{0,8477075981}%% %%\Rightarrow%% Die Nullstelle liegt bei ca. %%\color{#009900}{0,8477075981}%%.

Vereinfachung für den Taschenrechner

Klicken für ausführliche Erklärung

Die Iterationsformel immer wieder in den Taschenrechner einzugeben ohne durcheinander zu kommen, erfordert eine gewisse Konzentration. Um es ein wenig leichter zu machen, gibt es eine gute Möglichkeit das Newtonverfahren mit dem Taschenrechner zu benutzen.

Dafür braucht man nur fünf Schritte:

1. Den Wert von %%x_0%% auf %%A%% einspeichern:

Wert von %%x_0%% eingeben, Shift drücken, RCL drücken und dann auf die Taste drücken über der das %%A%% steht. Durch Shift, RCL wird STO betätigt und somit der eingegebene Wert auf die nächste Taste in diesem Fall auf %%A%% gespeichert.

Resultat: %%x_0 \rightarrow A%%

2. %%f(x)%% auf %%B%% einspeichern:

Die Gleichung von %%f(x)%% in den Taschenrechner eingeben, aber statt %%x%% %%A%% eintippen (erleichtert schon in diesem Schritt das Eintippen, dadurch, dass nicht immer der Wert, sondern nur %%A%% getippt werden muss). Dann den Wert von %%f(x)%% auf %%B%% einspeichern wie bei Schritt 1.

Resultat: %%f(x) \rightarrow B%%

3. %%f(x)%% auf %%C%% einspeichern:

Die Gleichung von %%f(x)%% wie bei Schritt 2 eingeben und auf %%C%% einspeichern.

Resultat: %%f(x) \rightarrow C%%

4. %%A-B:C%% eingeben %%\rightarrow%% Wert = %%x_1%%

5. %%x_1%% in %%A%% einspeichern:

Wie bei Schritt 1.

Resultat: %%x_1\rightarrow x_0\rightarrow A%%

Diese Schritte wiederholt man, bis man die geforderte Genauigkeit der Nullstelle berechnet hat. Man kann sich auch zusätzlich eine Tabelle anlegen, damit man die einzelnen Schritte noch festhalten kann.

Wenn man nur %%x_0\rightarrow A%% speichert und die Iterationsformel durch vorheriges Einsetzen vereinfacht, kann man auch nur diese vereinfachte Formel mit %%A%% statt %%x_0%% eingeben, das Ergebnis wieder auf %%A%% speichern und die Rechnung solang durchführen bis das gewünschte Ergebnis erreicht ist.

Ausführlicher Lösungsweg

Du benötigst

Ergebnis

Erhältst du durch

%%f(x)%%

%%=%%

%%\frac{1}{3}x^3-x^2-\frac{1}{3}%%

%%f'(x)%%

%%=%%

%%x^2-2x%%

Berechnen

%%x_0%%

%%=%%

%%3%%

Berechnen

%%f'(x)%%

Lösungsweg Ableitung (hier Klicken)

$$,$$

$$,$$

$$,$$

$$,$$

$$,$$

$$,$$

$$,$$

$$,$$

%%\frac{1}{3}%%

%%\cdot%%

%%x^3%%

%%-%%

%%x^2%%

%%-%%

%%\frac{1}{3}%%

%%\frac{1}{3}%%

%%\cdot%%

%%3x^2%%

%%-%%

%%2x%%

%%-%%

%%0%%

%%\,%%

%%\,%%

%%x^2%%

%%-%%

%%2x%%

%%\,%%

%%\,%%

  • Aus den %%x^3%% wird mit der Rechenregel der Ableitung von Polynomen: %%x^3=3\cdot x^{3-1}=3x^2%% | %%x^2=2x^{2-1}=2x^1=2x%%

  • Merke: %%x^0%% ist bei Ableitungen immer 1!

  • Die %%\frac{1}{3}%% und damit auch das %%-%% verschwinden:
    Da %%x^0=1%% ist und %%\frac{1}{3}=1\cdot \frac{1}{3}%% ist %%\Rightarrow \frac{1}{3}=x^0\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\cdot 0\cdot x^{0-1}=0 \Rightarrow \frac{1}{3}=0%%

    • Die Ableitung von %%\frac{1}{3} x^3-x^2-\frac{1}{3} =x^2-2x%%
  • Übersicht zu den Rechenregel zur Ableitung von Polynomen.**

%%x_0%%

Wertetabelle:

Setze verschiedene Werte als %%x%% ein um jeweils nach dem y-Wert aufzulösen. Trage dies anschließend in eine Wertetabelle ein und finde den Übergang vom Positiven/Negativen, diese zwei Punkte stellen dann dein Intervall dar. Beim Wählen beachte, dass %%x_0%% keine Extremstelle darstellen darf.

Beispiel:

%%f(1)=\frac{1}{3}\cdot1³-1²-\frac{1}{3}%%

%%f(1)=-1%%

%%-4%%

%%-3%%

%%-2%%

%%-1%%

%%0%%

%%1%%

%%2%%

%%3%%

%%4%%

%%-\frac{53}{3}%%

%%-\frac{19}{3}%%

%%-1%%

%%-\frac{5}{3}%%

%%-\frac{1}{3}%%

%%-1%%

%%-\frac{5}{3}%%

%%-\frac{1}{3}%%

%%5%%

Vorzeichenwechsel im Intervall %%x\in[3;4]\Rightarrow%% wähle z.B. %%x_0=3,5%%.

%%x_0%%

Alternativ Lösung mithilfe des Monotonieverhaltens: (hier klicken)
  • Ableitung von %%f(x)=x^2-2x%%

  • Berechne die Nullstellen von %%f´(x)=x^2-2x%%

%%x_1=0%%

%%x_2=2%%

  • Erstelle eine Vorzeichentabelle
    Die Vorzeichentabelle stellt das Verhältnis zwischen dem An- und Absteigen der Funktion und dem Zahlenstrahl dar.

Monotonieverhalten:
* berechne die Ableitung von %%f(x)%%

  • berechne die Nullstellen der Ableitung %%f´(x)%%

  • Erstelle eine Vorzeichentabelle

  • Setze die Nullstellen der Ableitung als %%x%% in %%f(x)%% ein und berechne so %%y%%.

  • Setze werte rund um die Extrema als %%x%% in %%f(x)%% ein und finde den übergang von y ins Posi-/Negative

  • dieser Bereich stellt den Intervall, in dem sich die Nullstelle befindet da.

  • Falls du bei den Einzelnen Punkten Hilfe brauchst, dann gehe auf den Artikel zu Monotonieverhalten und schau dir den Ausführlichen Lösungsweg (hier runter scrollen) an!

  • Berechne den %%y%% wert für %%f'(0)% %% und %%f'(2)%%
    %%f(x)=\frac{1}{3}x³-x²-\frac{1}{3}%%

%%f(0)=\frac{1}{3}\frac 0³-0²-\frac{1}{3}%%

%%f(0)=-\frac{1}{3}%%

%%f(2)=\frac{1}{3}\cdot 2³-2²-\frac{1}{3}%%

%%f(2)=\frac{1}{3}\cdot 8 -4 -\frac{1}{3}%%

%%f(2)=\frac{8}{3} -\frac{13}{3}%%

%%f(2)=-\frac{5}{3}%%

lokales Maximum: %%f(0)=-\frac{1}{3}%%

lokales Minimum: %%f(2)=-\frac{5}{3}%%

  • Intervall festlegen

  • Intervall festlegen

  • Aus diesen berechnungen erschließt sich, das die Nullstelle sich im Interval %%(3;4)%% befindet, da die Mitte des Intervalles beit etwa 2,65 liegt, nehmen wir %%x_0=3,5%%

Rechnung

Berechnung

Erklärung

%%x_m=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}%%

%%x_1=3,5-\frac{\frac{1}{3}\cdot3,5^3-3,5²-\frac{1}{3}}{3,5³-2\cdot3,5}%%

%%x_1=3,5-\frac{\frac{41}{24}}{\frac{287}{8}}%%

%%x_1=\color{#009900}{3},452380952=\frac{145}{42}%%

Setze %%f(x),f´(x)%% und %%x_0%% in die Formel ein. Und löse nach %%x_1%% auf.

%%x_2=\frac{145}{42}-\frac{\frac{1}{3}\cdot(\frac{145}{42})³-(\frac{145}{42})²-\frac{1}{3}}{(\frac{145}{42})²-2\cdot\frac{145}{42}}%%

%%x_2=\frac{145}{42}-\frac{1,463966274}{5,014172336}%%

%%x_2=\color{#009900}{3,1}60415266%%

Setze %%f(x),f´(x)%% und %%x_1%% in die Formel ein. Und löse nach %%x_2%% auf.

%%x_3=3,160415266-\frac{\frac{1}{3}\cdot3,160415266³-3,160415266²-\frac{1}{3}}{3,160415266²-2\cdot3,160415266}%%

%%x_3=3,160415266-\frac{0,2007545716}{3,667394122}%%

%%x_3=\color{#009900}{3,10}567488%%

Setze %%f(x),f´(x)%% und %%x_2%% in die Formel ein. Und löse nach %%x_3%% auf.

%%x_4=3,10567488-\frac{\frac{1}{3}\cdot3,10567488³-3,10567488²-\frac{1}{3}}{3,10567488²-2\cdot3,10567488}%%

%%x_4=3,10567488-\frac{0,006419030671}{3,4338667}%%

%%x_4=\color{#009900}{3,1038}0555%%

Setze %%f(x),f´(x)%% und %%x_3%% in die Formel ein. Und löse nach %%x_4%% auf.

%%x_5=3,10380555-\frac{\frac{1}{3}\cdot3,10380555³-3,10380555²-\frac{1}{3}}{3,10380555²-2\cdot3,10380555}%%

%%x_5=3,10380555-\frac{0,000007,356513587}{3,425897892}%%

%%x_5=\color{#009900}{3,1038}53353%%

Setze %%f(x),f´(x)%% und %%x_4%% in die Formel ein. Und löse nach %%x_5%% auf.

%%x_5=\color{#009900}{3,1038}%% ist die Annäherung der Nullstelle bis zur %%4.%% Nachkommastelle von %%f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-\frac{1}{3}%%

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Kowalsky 2018-05-16 11:32:45
In der Graphik der Rechenmaschine muss -xo*f(xo)/f´(xo) durch xo - f(xo)/f´(xo) ersetzt werden
Nish 2018-05-18 16:32:11
Vielen Dank für deinen Hinweis, Kowalsky! Sehr aufmerksam von dir :)
Ich leite es mal an den Autor weiter ;)

LG und ein schönes Wochenende,
Nish
Paul_Meier 2018-05-19 20:20:18
Hallo Kowalsky,
vielen dank für die konstruktive kritik bzw. den Hinweis auf den Fehler :D. Ich habe den Fehler in der Grafik soweit behoben. Falls dir sonst noch irgendwas auffält wir freuen uns immer sehr über konstruktive kritik!
LG und ein schönes Pfingsten,
Paul
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Knorrke 2016-12-04 18:55:43
Hallo,
hat vielleicht jemand Zeit und Lust diesen Artikel zu überarbeiten? Folgende Sachen sind mir aufgefallen:
1. Das Steigungsdreieck neben dem Text "Rechnerisch sieht das so aus" sollte mMn ein Bild sein und kein Applet. Außerdem könnte man den Graphen zumindest noch andeuten, damit man es als Steigungsdreieck erkennt.
2. Das %%\tan(\alpha)%% in der Formel wird nicht benötigt und verwirrt denke ich eher. Ich fände besser: %%f'(x) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x)}{x_0 - x_1}%%. Außerdem würde ich auch das Wort Steigungsdreieck erwähnen und evtl. verlinken.
3. Bei Vorgehen steht der Text aus der Herleitung fast nochmal drin, das könnte man vermutlich verbinden.
4. Mit dem Taschenrechner kann man das Verfahren sehr viel leichter umsetzen als hier im Spoiler dargestellt, indem man einfach im Taschenrechner bei jedem x die ANS-Taste verwendet. z.B. bei %%x^3-x+1%% mit Startwert %%x_0=1%%: Zuerst 1 eingeben und = drücken. Dann eingeben: ANS - ( ANS^3 - ANS + 1 ) / (3*ANS^2 - 1) und solange = drücken, bis man zufrieden ist.

Ich habe oben noch ein Applet hinzugefügt, das ich vorhin erstellt habe, da könnt ihr auch gern noch Feedback geben!

Gruß
Benni
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Zu article Newtonsches Näherungsverfahren: Winkel Alpha kennzeichnen
Inception_ 2015-09-22 02:56:53
Wenngleich es der Tangens sagt, fände ich die explizite Kennzeichnung des Winkels \alpha im Dreieck Ax_0x_1 sinnvoll.
Nish 2015-09-22 11:56:06
Danke für deinen Hinweis. Ich werde den Winkel soweit möglich noch einzeichnen. Lg, Nish
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Benedict 2018-01-24 10:20:44
Hi,
mir sind ein paar grammatikalische Fehler im Text unter der Überschrift "Iterationsformel" aufgefallen:
1. "für den jeweils nächsten Schrittes" sollte wohl eher "für den jeweils nächsten Schritt" heißen
2. "dies kannst in der Grafik mit der Rechenmaschiene" sollte wohl eher "dies kannst du in der Grafik mit der Rechenmaschine erkennen" heißen
Renate 2018-01-24 19:38:21
Hallo @Benedict,
danke für die Hinweise - ich denke, da hast du beide Male recht!
Hast du Lust, es gleich selbst zu verbessern?

Viele Grüße
Renate
Benedict 2018-01-25 17:01:11
Ja, ist erledigt und wartet auf freigabe:)
Renate 2018-01-25 21:34:16
Danke! Ich habe es gerade eben freigegeben. :)

Dann kann ich die Diskussion hier archivieren? Oder hast du inzwischen noch mehr Fehler im Artikel entdeckt?
Benedict 2018-01-26 13:06:31
Sonst hab ich keine Fehler mehr gefunden.
Renate 2018-01-27 08:34:58
Danke!

Jetzt hab' ich selbst allerdings noch ein paar Schreibfehler gefunden - unten, im Abschnitt Wertetabelle ("jewails", "übergang"...).
Ich denke, ich bessere das jetzt rasch noch selbst aus, und dann wird die Diskussion hier wirklich archiviert.

Für neue Probleme dann neue Diskussionen! :)

Gruß, und hoffentlich bis bald mal wieder
Renate