Aufgaben

Bilde die Umkehrfunktion %%f^{-1}\left(x\right)%%  und gib falls nötig einen neuen Definitionsbereich an.

%%f\left(x\right)=x+4%%

Die Definitionsmenge %%D_f=\mathbb{R}%% der Funktion %%f%% wird zum Wertebereich %%W_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

Der Wertebereich %%W_f=\mathbb{R}%% der Funktion %%f%% wird zur Defininitionsmenge %%D_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

%%f\left(x\right)=x+4%%

%%\Rightarrow y=x+4%%

Vertausche die Variablen %%x%% und %%y%%.

%%x=y+4%%

Löse nach %%y%% auf.

%%x=y+4%%

%%\mid -4%%

%%x-4=y%%

$$\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)=x-4$$

Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.

%%\Rightarrow D_{f^{^-1}}=\mathbb{R}%% und %%W_{f^{^-1}}=\mathbb{R}%%

%%f(x)=x^3%%

Die Definitionsmenge %%D_f=\mathbb{R}%% der Funktion %%f%% wird zum Wertebereich %%W_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

Der Wertebereich %%W_f=\mathbb{R}%% der Funktion %%f%% wird zur Defininitionsmenge %%D_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

%%f(x)=x^3%%

%%\Rightarrow y=x^3%%

Vertausche die Variablen %%x%% und %%y%%.

%%x=y^3%%

Löse nach %%y%% auf.

%%x=y^3%%

%%\mid \sqrt[3]{}%%

%%\sqrt[3]{x}=y%%

$$\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$$

Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.

%%\Rightarrow D_{f^{^-1}}=\mathbb{R}%% und %%W_{f^{^-1}}=\mathbb{R}%%

%%f(x)=x^2-1%%

Da die Funktion %%f(x)=x^2-1%% eine um 1 nach unten geschobene Parabel ist und somit Werte aus ihrem Wertebereich mehrmals "trifft" muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, um eine Umkehrfunktion zu finden.

Durch Überlegung:

Da %%f(x)=x^2-1%% symmetrisch zu %%x=0%% ist sieht man, dass man %%D_f=[0;+\infty[%% wählen muss.

Durch Rechnung:

Man errechnet, wie unten gezeigt, die Umkehrfunktion und betrachtet die Wertemenge der Umkehrfunktion um die Einschränkung des Definitionsbereichs von %%f(x)%% anzugeben.

Die Definitionsmenge %%D_f=[0;+\infty[%% der Funktion %%f%% wird zum Wertebereich %%W_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

Der Wertebereich %%W_f=[-1;+\infty[%% der Funktion %%f%% wird zur Defininitionsmenge %%D_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

%%f\left(x\right)=x^2-1%%

%%\Rightarrow y=x^2-1%%

Vertausche die Variablen %%x%% und %%y%%.

%%x=y^2-1%%

Löse nach %%y%% auf.

%%x=y^2-1%%

%%\mid+1%%

%%x+1=y^2%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%\sqrt{x+1}=y%%

$$\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{x+1}$$

Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.

%%\Rightarrow D_{f^{^-1}}=[-1;+\infty[%% und %%W_{f^{^-1}}=[0;+\infty[%%

%%f(x)=2\cdot\sqrt{x}%%

Die Definitionsmenge %%D_f=[0;+\infty[%% der Funktion %%f%% wird zum Wertebereich %%W_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

Der Wertebereich %%W_f=[0;+\infty[%% der Funktion %%f%% wird zur Defininitionsmenge %%D_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

%%f\left(x\right)=2\sqrt x%%

%%\Rightarrow y=2\sqrt x%%

Vertausche die Variablen %%x%% und %%y%%.

%%x=2\sqrt y%%

Löse nach %%y%% auf.

%%x=2\sqrt y%%

%%\mid:2%%

%%\frac12x=\sqrt y%%

%%\mid {}^2%%(quadrieren)

%%\left(\frac12 x\right)^2=y%%

%%\frac14 x^2=y%%

$$f^{^-1}(x)=\frac14 x^2$$

%%\Rightarrow D_{f^{^-1}}=[0;+\infty[%% und %%W_{f^{^-1}}=[0;+\infty[%%

%%f(x)=2\cdot x^2-3\cdot x+1%%

Da die Funktion %%f(x)=2x^2-3x+1%% eine Parabel ist und somit Werte aus ihrem Wertebereich mehrmals "trifft" muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, um eine Umkehrfunktion zu finden.

Durch Überlegung:

Man muss die Symmetrieachse der Parabel bestimmen. Da der Scheitelpunkt auf der Symmetrieachse liegt bestimmt man diesen.

%%f(x)=2x^2-3x+1=2\left(x^2-\frac32x\right)+1=2\left(x^2-\frac32x+\left(\frac34\right)^2-\left(\frac34\right)^2\right)+1%%

%%=2\left(\left(x-\frac34\right)^2-\frac9{16}\right)+1=2\left(x-\frac34\right)^2-\frac98+1=2\left(x-\frac34\right)^2-\frac18%%

%%\Rightarrow%% Der Scheitelpunkt ist %%S(\frac34\mid-\frac18)%%.

Also ist %%f(x)%% symmetrisch zu %%x=\frac34%% und man muss %%D_f=[\frac34;+\infty[%% wählen.

Durch Rechnung:

Man errechnet, wie unten gezeigt, die Umkehrfunktion und betrachtet die Wertemenge der Umkehrfunktion um die Einschränkung des Definitionsbereichs von %%f(x)%% anzugeben.

Die Definitionsmenge %%D_f=[\frac34;+\infty[%% der Funktion %%f%% wird zum Wertebereich %%W_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

Der Wertebereich %%W_f=[-\frac18;+\infty[%% der Funktion %%f%% wird zur Defininitionsmenge %%D_{f^{^-1}}%% der Umkehrfunktion %%f^{^-1}%%.

%%f(x)=2x^2-3x+1%%

%%\Rightarrow y=2x^2-3x+1=2\left(x-\frac34\right)^2-\frac18%%

Vertausche die Variablen %%x%% und %%y%%.

%%x=2(y-\frac34)^2-\frac18%%

%%\mid+\frac18%%

%%x+\frac18=2(y-\frac34)^2%%

%%\cdot\frac12%%

%%\frac12(x+\frac18)=(y-\frac34)^2%%

%%\mid\sqrt{}%%

%%\sqrt{\frac12(x+\frac18)}=y-\frac34%%

%%\mid+\frac34%%

%%\sqrt{\frac12(x+\frac18)}+\frac34=y%%

$$\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)=\sqrt{\frac12(x+\frac18)}+\frac34$$

Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.

%%\Rightarrow D_{f^{^-1}}=[-\frac18;+\infty[%% und %%W_{f^{^-1}}=[\frac34;+\infty[%%

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