Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an %%\left(G=ℝ\right)%% .

%%f(x)=\dfrac{4x-3}{2x-5}%%

%%f(x)=\dfrac{3x^3+7}{x^2-2x}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\dfrac{3x^3+7}{x^2-2x}%%

Setze den Nenner gleich 0.

%%x^2-2x=0%%

%%x(x-2)=0%%

Ein Produkt wird %%0%%, wenn einer der Faktoren %%0%% ist.

%%\Rightarrow x_1=0%%

Setze die Klammer gleich %%0%%.

%%x-2=0%%

%%\vert+2%%

%%x_2=2%%

Die Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

%%\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\backslash\{0;2\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{2x+x^7}{\frac19x^2+\frac13x+\frac14}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f\left(x\right)=\frac{2x+x^7}{\frac19x^2+\frac13x+\frac14}$$

Definitionslücke(n) berechnen, indem man ausrechnet, für welche(s) %%x%% der Nenner den Wert %%0%% ergibt.

%%\frac19x^2+\frac13x+\frac14 = 0%%

$$\displaystyle x_{1/2}=\frac{-\frac13\pm\sqrt{(\frac13)^2-4\cdot\frac19\cdot\frac14}}{\frac29}$$

Die Betrachtung der Diskriminanten ergibt

%%D=(\frac13)^2-4\cdot\frac19\cdot\frac14=0%%. Also besitzt der Nenner genau eine Nullstelle.  

%%x_1=\dfrac{-\frac13}{\frac29}=-\frac32%%

 

%%D_f=ℝ\backslash\left\{-\frac32\right\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{2x^4-x^2}{0,01x^2-1}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\dfrac{2x^4-x^2}{0,01x^2-1}%%

Nenner gleich 0 setzen.

%%0,01x^2-1=0%%

 |%%+1%%

      %%0,01x^2=1%%

%%\vert\cdot100%%

            %%\;\;x^2=100%%

%%\vert\sqrt\;%%

                  %%x=\pm10%%

 

%%\;\;\Rightarrow\;\;D=ℝ\backslash\{-10;+10\}%%

%%f\left(x\right)=\sqrt{7x+4}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\sqrt{7x+4}%%

Bedingung "Radikand größer gleich 0" ausnutzen.

%%7x+4\geq0%%

%%|-4%%

Alle Terme mit %%x%% auf eine Seite, alle ohne %%x%% auf die andere.

%%7x\geq-4%%

%%|:7%%

%%x%% alleine stehen lassen.

%%x\geq\dfrac{-4}{\;\;7}%%

$$D=\left[-\frac47;\infty\right[$$

%%f\left(x\right)=\sqrt{x^2-5x+6}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=\sqrt{x^2-5x+6}%%

Prüfen, wann der Radikand %%\geq%% 0 ist.

%%x^2-5x+6=0%%

Nullstellenbestimmung

Die Nullstellen einer Funktion %%f%% sind die %%x%%-Werte, für die %%f(x)=0%% wird.

mit dem Satz von Vieta

 

%%x^2-5x+6=0%%

Faktorenzerlegung (mit dem Satz von Vieta).

%%(x-3)\cdot(x-2)=0%%

Nullstellen ablesen.

$$x_1=3\;;\;x_2=2$$

mit der Mitternachtsformel

%%x^2-5x+6=0%%

%%x_1=\dfrac{5+1}2%%

%%x_2=\dfrac{5-1}2%%

%%x_1=3\;;\;x_2=2%%

Abschnitte bestimmen, in denen der Radikand kleiner als 0 ist

Da der Graph der Funktion %%g\left(x\right)=x^2-5x+6%% eine nach oben geöffnete Parabel ist (Koeffizient der höchsten %%x%%-Potenz ist positiv), nimmt %%g%% im Intervall %%\rbrack2;3\lbrack%% negative Werte an.

Folglich ist %%f(x)=\sqrt{g(x)}%% auf %%\rbrack2;3\lbrack%% nicht definiert.

$$\Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash\;\rbrack2;3\lbrack\;$$

%%f(x)=\sqrt{17x}+5x-3%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\sqrt{17x}+5x-3%%

%%17x<0%%

%%x<0%%

Prüfe, wann %%17x%% kleiner als Null wird.

%%\vert:17%%

Das Intervall %%]-\infty;0[%% muss man also ausschließen.
Den Rest der Funktion, also %%5x-3%%, muss man nicht überprüfen, da er ein Polynom ist.

%%\Rightarrow\mathbb D=[0;\infty[%%

%%f(x)=\sqrt[6]{x^2-4x+3}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\sqrt[6]{x^2-4x+3}%%

Prüfe, wann der Radikand %%x^2-4x+3%% kleiner als Null wird.

%%\begin{array}{rcl} \;&x^2-4x+3<0&\\ \Leftrightarrow &(x-3)(x-1)<0&\\ \end{array}%%

Das Polynom %%x^2-4x+3%% kann man nach dem Satz von Vieta in das angegebene Produkt umwandeln.

Eine andere Möglichkeit ist, die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel zu ermitteln und dann das Polynom als Produkt der zwei Klammern zu schreiben.

Fallunterscheidung:

1. %%\begin{array}\;& x-3<0&\text{ und }x-1>0&\\ \Leftrightarrow &x<3&\text{ und }x>1&\\ \Leftrightarrow &\underline{1<x<3}&&\rightarrow x\in\;]1;3[ \end{array}%%

Man betrachtet zuerst die Möglichkeit, dass der erste Faktor negativ und der zweite Faktor positiv ist.

Der zweite Fall ist die Umkehrung: %%x-3%% wird positiv, während %%x-1%% negativ wird.

2. %%\begin{array}\;& x-3>0&\text{ und }x-1<0&\\ \Leftrightarrow &x>3&\text{ und }x<1&\leftarrow\text{unmöglich} \end{array}%%

Da %%x%% nicht größer als %%3%% und gleichzeitig kleiner als %%1%% sein kann, gilt nur der erste Fall. Das heißt:
%%x^2-4x+3%% ist kleiner als Null genau dann, wenn %%x%% zwischen %%1%% und %%3%% liegt. Dieses Intervall muss man also ausschließen.

%%\Rightarrow \mathbb D= \mathbb R\backslash ]1;3[%%

Wurzelfunktion

%%f(x)=\ln(x-5)%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\ln(x-5)%%

Prüfe, wann das Argument %%x-5%% kleiner oder gleich Null wird.

%%\begin{array}{rcl} x-5&\leq&0&|+5\\ x&\leq&5\\ \end{array}%%

Das Intervall %%x\in\;]-\infty; 5]%% muss man also aus dem Definitionsbereich ausschließen.

%%\Rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus ]-\infty; 5]%%

%%f\left(x\right)=\ln\left(6x-x^2-9\right)%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die %%g(x)=6x-x^2-9%% positiv ist.

Nullstellen von %%g(x)=-x^2+6x-9%%

$$D=6^2-4\cdot(-1) \cdot (-9)=36 - 36 = 0$$

Die Betrachtung der Diskriminante von %%g%% ergibt hier, dass %%g%% genau eine Nullstelle besitzt.

Da der Graph der Funktion %%g%% eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt %%g%% keine positiven Werte an.

Interpretation

Da %%g%% keine positiven Werte annnimmt, gilt nach der Vorüberlegung:

%%\mathbb {D}_f=\{\;\}\,%%,also die leere Menge.

%%f(x)=\mathrm{log}_6(x^3-7x)%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f(x)=\mathrm{log}_6(x^3-7x)%%

Prüfe, wann %%x^3-7x%% kleiner oder gleich Null wird.

%%\begin{array} \; & x^3-7x\leq0 & |x \text{ ausklammern}\\ \Leftrightarrow & x\cdot(x^2-7)\leq 0 & \end{array}%%

Fallunterscheidung:

%%\begin{array} \;1. & x\leq0&\text{ und }x^2-7\geq0&|+7\\ \Leftrightarrow &x\leq0&\text{ und }x^2\geq7&|\sqrt{\;}\\ \Leftrightarrow &x\leq0&\text{ und }|x|\geq\sqrt{7}&|\text{Betrag!}\\ \\ a)&x\leq0&\text{ und }x\geq\sqrt7\;\leftarrow&\text{unmöglich}\\ b)&x\leq0&\text{ und }x\leq-\sqrt7\\ &\Leftrightarrow &\underline{x\leq-\sqrt7} \\ \end{array}%%

%%\begin{array}\;2.&x\geq0&\text{ und }x^2-7\leq 0&|+7\\ \Leftrightarrow &x\geq0&\text{ und }x^2\leq7&|\sqrt{\;}\\ \Leftrightarrow &x\geq0&\text{ und }|x|\leq\sqrt7&\\ \\ &x\geq0&\text{ und }-\sqrt7\leq x\leq\sqrt7\\ &\Leftrightarrow &\underline{x\in\;\left[0;\sqrt7\right]} \end{array}%%

Die erste Fallunterscheidung wird gemacht, um die zwei Fälle zu unterscheiden, bei denen das Produkt kleiner oder gleich Null wird.

  • Erster Faktor kleinergleich Null, zweiter Faktor größergleich Null.

Hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:

Dass %%x%% kleinergleich Null und gleichzeitig größergleich %%\sqrt7%% ist, ist unmöglich.

Es bleibt, dass das Produkt kleiner oder gleich Null wird, wenn %%x%% kleiner oder gleich %%-\sqrt7%% ist.

  • Erster Faktor größergleich Null, zweiter Faktor kleinergleich Null.

Auch hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:

Das Produkt wird kleinergleich Null, wenn %%x%% zwischen %%-\sqrt7%% und %%\sqrt7%% liegt und gleichzeitig %%x%% größergleich Null ist.

Zusammenfassend

Man muss ausschließen:

%%x\leq-\sqrt7;\;0\leq x\leq\sqrt7%%

Somit ergibt sich folgender Definitionsbereich:

%%\Rightarrow\mathbb D=\mathbb{R}\setminus]-\infty;-\sqrt7]\cup[0; \sqrt7]%%

%%f\left(x\right)=5x\;\tan\left(x\right)%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%f\left(x\right)=5x\cdot\tan\left(x\right)=5x\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}%%

Man verwendet: $$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$$

Der Nenner (also %%cos(x)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%cos (x)=0%%

Hier setzt man %%cos(x)=0%% an.

%%cos(x)=0%% gilt genau für alle $$x\in\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}$$

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6296_ohh910loxm.xml

%%f\left(x\right)=7x^2\tan\left(2-x\right)%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f(x)=7x^2\cdot\tan(2-x)=7x^2\frac{\sin(2-x)}{\cos(2-x)}$$

Der Nenner (%%cos(2-x)%%) darf nicht %%0%% werden,

%%cos(2-x)=0%%

Der gewöhnliche Cosinus %%cos(x)%% wird genau dann %%0%%, wenn %%x\in\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%% gilt. Daher gilt %%cos(2-x)=0%% genau dann, wenn %%x\in\{2-\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%% gilt.

%%\Rightarrow%% %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{2-\frac\pi2+k\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

%%f\left(x\right)=\left(x+5\right)\;\tan\;\left(x^2-\frac12\pi\right)%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

%%\begin{array}{l}f(x)=(x+5)\;\tan(x^2-\frac\pi2)\\\;\;\;\;\;\;\;\;=(x+5)\;\frac{\sin(x^2-{\displaystyle\frac\pi2})}{\cos(x^2-{\displaystyle\frac\pi2})}\end{array}%%

Der Nenner (%%\cos(x^2-\frac\pi2)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%\cos(x^2-\frac\pi2)=0%%

%%x^2-\frac\pi2\in\{\frac\pi2+k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

%%x\in\{\pm\sqrt{k\cdot\pi}\vert k\in\mathbb{N}_0\}%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{\pm\sqrt{k\pi}\vert k\in\mathbb{N}_0\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac1{\sqrt{x^2+6x+9}}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die der Radikand %%x^2+6x+9%% positiv ist.

Nullstellen von %%x^2+6x+9%%

$$x_{1/2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-4\cdot9}}2$$

Mitternachtsformel

$$x_1=\frac{-6}2=-3$$

Für die Diskriminante gilt: %%D=36-4\cdot9=0%% %%\Rightarrow%% 1 Lösung

Interpretation

Da der Graph der Funktion %%g(x)=x^2+6x+9%% unter der Wurzel eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle %%x\neq-3%% positiv. Nach der Vorüberlegung gilt damit für Definitionsbereich von %%f%%: $$\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{-3\}$$

%%f\left(x\right)=\dfrac{\lg\left(x^2-x\right)}{\sqrt{x+2}}%%

Definitionsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

Vorüberlegung

Die Funktion %%f%% ist genau für diejenigen %%x%% definiert, für die %%g(x)=x^2-x>0%% (Definitionsbereich des Logarithmus) und %%h(x)=x+2>0%% gilt.

Nullstellen von %%g(x)=x^2-x%%

%%g(x)=x(x-1)%%

%%\Rightarrow%% zwei Nullstellen %%x_1=0\;%% und %%x_2=1%%

Zunächst faktorisiert man %%g(x)%%.

Daraufhin kann man die Nullstellen ablesen.

Da der Graph der Funktion %%g(x)=x^2-x%% eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz) ist, nimmt %%g%% für alle %%x\not\in\lbrack0;1\rbrack%% positive Werte an.

Nullstellen von %%h(x)=x+2%%

%%x+2=0%%

%%x=-2%%

 

Die Nullstelle der linearen Funktion %%h%% lässt sich durch einfaches Auflösen nach %%x%% bestimmen.

Da der Graph der Funktion %%h(x)=x+2%% eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt %%g%% für alle %%x>-2%% positive Werte an.

Interpretation

Da die Bedingungen an %%g%% und %%h%% aus der Vorüberlegung genau für alle %%x\not\in\lbrack0;1\rbrack%% UND %%x>-2%% erfüllt sind, gilt:

%%\mathbb{D}_f=]-2;0[\;\;\cup\;\;]1;\infty[%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{1+3x+33x^2}{\sin\left(x\right)}%%

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f(x)=\frac{1+3x+33x^2}{\sin(x)}$$

Der Nenner (%%\sin(x)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%sin(x)=0%%

%%x\in\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Nun überlegt man sich, für welche %%x%% der Nenner %%0%% wird.

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

%%f\left(x\right)=\dfrac{12345}{1-\sin\left(x-\frac12\pi\right)}%%

Definitonsbereich bestimmen

Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.

$$f(x)=\frac{12345}{1-\sin(x-{\displaystyle\frac\pi2})}$$

Der Nenner (%%1-\sin(x-\frac\pi2)%%) darf nicht %%0%% werden.

%%1-\sin(x-\frac\pi2)=0%%

Du kannst du Gleichung umformen. Bringe durch Addition %%\sin(x-\frac\pi2)%% auf die andere Seite.

%%\Leftrightarrow%% %%\sin(x-\frac\pi2)=1%%

Nun überlegst du dir, für welche Werte der Sinus %%1%% wird.

%%\Leftrightarrow%% %%x-\frac\pi2\in\{\frac\pi2+2k\cdot\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Da du nach den %%x%%-Werten suchst, musst du noch mit %%\frac{\pi}{2}%% addieren.

%%\Leftrightarrow%% %%x\in\{(2k+1)\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%

Also gilt: %%\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\backslash\{(2k+1)\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}%%