Es ist folgende Funktion gegeben:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

In den folgenden Teilaufgaben werden verschiedene Teile einer Kurvendiskussion abgefragt.

Suche dir das heraus, was du üben möchtest.

Bei späteren Teilaufgaben kann auf frühere Ergebnisse zurückgegriffen werden.

Ist dir nicht sofort klar, woher diese Ergebnisse kommen, dann bearbeite zunächst diese früheren Teilaufgaben zur Wissensauffrischung.

Bestimme den maximalen Definitionsbereich der Funktion.

Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

Schnittpunkt mit der y-Achse:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Setze 0 in die Funktion ein.

$$f(0)=\frac{0+1}{0^2-4}=-{\frac{1}{4}}$$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse befindet sich bei $$(0|-{\frac{1}{4}})$$

Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle):

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Berechne die Nullstelle des Zählers.

$$x+1=0$$ $$x=-1$$

Der Schnittpunkt mit der x-Achse befindet sich bei $$(-1|0)$$

Gib die Asymptoten der Funktion an.

Senkrechte Asymptoten:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Die Definitionslücken sind senkrechte Asymptoten.

Es gibt zwei senkrechte Asymptoten bei $$x=-2$$ und $$x=2$$

Waagrechte oder schräge Asymptote:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Vergleiche Zähler- und Nennergrad.

Hier ist der Nennergrad größer als der Zählergrad, deswegen gibt es eine waagrechte Asymptote bei $$y=0$$

Überprüfe die Funktion auf Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung.

Achsensymmetrie zur y-Achse:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Bei Achsensymmetrie muss die Formel $$f(x)=f(-x)$$ gelten. Berechne $$f(-x)$$

$$f(-x)=\frac{-x+1}{(-x)^2-4}=\frac{-x+1}{x^2-4}$$

Die Formel gilt hier also nicht, das heißt die Funktion ist nicht achsensymmetrisch zur y-Achse.

Punktsymmetrie zum Ursprung:

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung muss folgende Formel gelten $$f(-x)=-f(x)$$ Berechne $$-f(x)$$

$$-f(x)=-\frac{x+1}{x^2-4}$$

Die Formel gilt also nicht, das heißt die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Die Funktion ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.

Bestimme die Tangente an die Funktion an der Stelle $$x=0$$

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Für die Tangente benötigt man eine Steigung. Dafür berechnet man die Ableitung.

$$f'(x)=\frac{1\cdot(x^2-4)-2x(x+1)}{(x^2-4)^2}=\frac{-x^2-2x-4}{(x^2-4)^2}$$

Für die Tangente an der Stelle $$x=0$$ benötigt man die Ableitung an der Stelle. Setze 0 in die Ableitung ein.

$$f'(0)=\frac{-0^2-2\cdot0-4}{(0^2-4)^2}=\frac{-4}{16}=-\frac{1}{4}$$

Nachdem man die Steigung weiß, benötigt man noch die vollständigen Koordinaten des Punktes. Dafür setzt man den x-Wert in die Funktion ein.

$$f(0)=\frac{0+1}{0^2-4}=-\frac{1}{4}$$

Nun kann man Steigung und Punkt in die Tangentengleichung einsetzen.

$$y=mx+t$$ $$-\frac{1}{4}=-{\frac{1}{4}}\cdot0+t$$

Löse nach t auf.

$$t=-\frac{1}{4}$$

Die Tangentengleichung lautet $$y=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}$$

Hat die Funktion Extremstellen? Bestimme sie gegebenenfalls.

$$f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$$

Für die Extremstellen sind die Nullstellen der Ableitung gesucht. Setze die Ableitung %%0%%.

$$f'(x)=\frac{-x^2-2x-4}{(x^2-4)^2}=0$$

Löse nach %%x%% auf.

$$-x^2-2x-4=0$$ $$x^2+2x+4=0$$ $$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot4\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{-2\pm\sqrt{-12}}2$$

Die Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es im Reellen nicht, also gibt es keine Lösung für %%x%%. Die Funktion hat keine Extremstellen.