Betrachte folgende Graphen.
AufgabeLineareFunktionen3
Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.

f(x):y=mfx+bf\text f(x):y=m_fx+b_f

Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel A(03)A(0|3) und B(42)B(4|2). Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.
mf=yByAxBxA\displaystyle m_f=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
Setz die Werte ein.
mf=2340=14\displaystyle m_f=\frac{2-3}{4-0}=-\frac14

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bfb_f, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.
f(x):y=mfx+bf\text f(x):y=m_fx+b_f
Setz zum Beispiel AA ein.
3=140+bf\displaystyle 3=-\frac14\cdot0+b_f
Vereinfache.
3=bfbf=33=b_f\Rightarrow b_f=3
Also lautet die Geradengleichung f(x)=14x+3\displaystyle\text f(x)=-\frac14\cdot x+3.

g(x):y=mgx+bg\text g(x):y=m_gx+b_g

Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel C(40)C(-4|0) und D(01)D(0|1). Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.
mg=yDyCxDxC\displaystyle m_g=\frac{y_D-y_C}{x_D-x_C}
Setz die Werte ein.
mg=100(4)=14\displaystyle m_g=\frac{1-0}{0-(-4)}=\frac14

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bgb_g, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.
g(x):y=mgx+bg\text g(x):y=m_gx+b_g
Setz zum Beispiel DD ein.
1=140+bg\displaystyle 1=\frac14\cdot0+b_g
Vereinfache.
1=bgbg=1\displaystyle 1=b_g\Rightarrow b_g=1
Also lautet die Geradengleichung g(x)=14x+1\displaystyle\text g(x)=\frac14\cdot x+1.

h(x):y=mhx+bh\text h(x):y=m_hx+b_h

Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel E(10)E(-1|0) und A(03)A(0|3). Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.
mh=yAyExAxE\displaystyle m_h=\frac{y_A-y_E}{x_A-x_E}
Setz die Werte ein.
mh=300(1))=3\displaystyle m_h=\frac{3-0}{0-(-1))}=3

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bhb_h, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.
h(x):y=mhx+bh\text h(x):y=m_hx+b_h
Setz zum Beispiel AA ein.
3=30+bh3=3\cdot0+b_h
Vereinfache.
3=bhbh=33=b_h\Rightarrow b_h=3
Also lautet die Geradengleichung h(x)=3x+3\displaystyle\text h(x)=3\cdot x+3.

i(x):y=mix+bi\text i(x):y=m_ix+b_i

Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel F(03)F(0|-3) und S(60)S(6|0). Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.
mi=ySyFxSxF\displaystyle m_i=\frac{y_S-y_F}{x_S-x_F}
Setz die Werte ein.
mi=0(3)60=12\displaystyle m_i=\frac{0-(-3)}{6-0}=\frac12

Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bib_i, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.
i(x):y=mix+bi\text i(x):y=m_ix+b_i
Setz zum Beispiel FF ein.
3=120+bi\displaystyle-3=\frac12\cdot0+b_i
Vereinfache.
3=bibi=3-3=b_i\Rightarrow b_i=-3
Also lautet die Geradengleichung i(x)=12x3\displaystyle\text i(x)=\frac12\cdot x-3.
Bestimme den Schnittpunkt von  g  und  h , sowie  die Nullstelle von f.

Schnittpunkt P(xpyp)P(x_p|y_p) von g und h

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach xx um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) g(x):y=14x+1\text g(x):y=\displaystyle\frac14x+1 und h(x):y=3x+3\text h(x):y=3x+3.
14xP+1=!3xP+3\displaystyle\frac14x_P+1\stackrel!=3x_P+3
3xp1|-3x_p-1
Subtrahiere 3xP3x_P und 1.
114xP=2\displaystyle -\frac{11}{4}x_P=2
÷(114)|\div\left(-\frac{11}4\right)
Dividiere durch 114-\frac{11}4.
xP=811\displaystyle x_P=-\frac8{11}
Setz nun 811-\frac8{11} in die Geradengleichung von g oder h ein, um yPy_P zu bestimmen.
h(xP):yP=3xP+3h(x_P):y_P=3\cdot x_P+3
Setz xPx_P ein.
yP=3(811)+3=911\displaystyle y_P=3\cdot\left(-\frac8{11}\right)+3=\frac9{11}
Die Geraden g und h schneiden sich also bei P(811911)\displaystyle P\left(-\frac8{11}\left|\frac9{11}\right.\right).

Die Nullstelle xNfx_{N_f} von f bestimmst du, indem du die Funktionsgleichung f(x):y=14x+3\displaystyle\text f(x):y=-\frac14x+3 mit 0 gleichsetzt und nach xx umformst.
14xNf+3=!0\displaystyle-\frac14x_{N_f}+3\stackrel!=0
3-3
Subtrahiere 3.
14xNf=3\displaystyle -\frac14x_{N_f}=-3
÷(14)|\div\left(-\frac14\right)
Dividiere durch 14-\frac14.
xNf=12\displaystyle x_{N_f}=12
Die Nullstelle von f ist also 12.
Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.
Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.

Schnittpunkt T(xTyT)T(x_T|y_T) von h und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach xx um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) h(x):y=3x+3h(x):y=3x+3 und i(x):y=12x3\displaystyle i(x):y=\frac12x-3.
3xT+3=!12xT3\displaystyle3x_T+3\stackrel!=\frac12x_T-3
12x3\left|-\frac12x-3\right.
Subtrahiere 12xT\frac12x_T und 3.
52xt=6\displaystyle \frac52x_t=-6
÷52|\div\frac52
Dividiere durch 52\frac52.
xT=125\displaystyle x_T=-\frac{12}5
Setz nun 125-\frac{12}5 in die Geradengleichung von h oder i ein, um yTy_T zu bestimmen.
h(xT):yT=3xT+3h(x_T):y_T=3⋅x_T+3
Setz xTx_T ein.
yT=3(125)+3=215\displaystyle y_T=3\cdot\left(-\frac{12}5\right)+3=-\frac{21}5
Die Geraden h und i schneiden sich also bei T(52215)\displaystyle T\left(-\frac52\left|-\frac{21}5\right.\right).

Schnittpunkt Q(xQyQ)Q(x_Q|y_Q) von g und i

Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach xx um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) g(x):y=14x+1\displaystyle g(x):y=\frac14x+1 und i(x):y=12x3\displaystyle i(x):y=\frac12x-3.
14xQ+1=!12xQ3\displaystyle\frac14x_Q+1\stackrel!=\frac12x_Q-3
12x1\left|-\frac12x-1\right.
Subtrahiere 12xT\frac12x_T und 1.
14xQ=4\displaystyle -\frac14x_Q=-4
÷(14)|\div(-\frac14)
Dividiere durch 14-\frac14.
xQ=16\displaystyle x_Q=16
Setz nun 1616 in die Geradengleichung von g oder i ein, um yQy_Q zu bestimmen.
g(xQ):yQ=14xQ+1\displaystyle g(x_Q):y_Q=\frac14⋅x_Q+1
Setz xQx_Q ein.
yQ=1416+1=5\displaystyle y_Q=\frac14\cdot16+1=5
Die Geraden g und i schneiden sich also bei Q(165)\displaystyle Q(16|5).
Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem

Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:
  • f und g
  • f und h
  • f und i
  • g und h
  • g und i
  • h und i
Bei vier Geraden schneidet die erste 3, die zweite noch 2 und die dritte noch 1:3+2+1=63+2+1=6