Betrachte folgende Graphen.
![AufgabeLineareFunktionen3](https://assets.serlo.org/legacy/541be8958f7e0_a6939af75e1532d9027d2bc2e7a8d6721f73beeb.jpg)
Bestimme die Funktionsgleichungen von allen 4 Geraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
f(x):y=mfx+bf
Um die Geradengleichung von f zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden f liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel A(0∣3) und B(4∣2). Bestimme mit diesen die Steigung von f mit der Formel.
mf=xB−xAyB−yA
Setz die Werte ein.
mf=4−02−3=−41
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bf, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf f liegt, oder abliest, bei welchem Wert f die y-Achse schneidet.
f(x):y=mfx+bf
Setz zum Beispiel A ein.
3=−41⋅0+bf
Vereinfache.
3=bf⇒bf=3
Also lautet die Geradengleichung f(x)=−41⋅x+3.
g(x):y=mgx+bg
Um die Geradengleichung von g zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden g liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel C(−4∣0) und D(0∣1). Bestimme mit diesen die Steigung von g mit der Formel.
mg=xD−xCyD−yC
Setz die Werte ein.
mg=0−(−4)1−0=41
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bg, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf g liegt, oder abliest, bei welchem Wert g die y-Achse schneidet.
g(x):y=mgx+bg
Setz zum Beispiel D ein.
1=41⋅0+bg
Vereinfache.
1=bg⇒bg=1
Also lautet die Geradengleichung g(x)=41⋅x+1.
h(x):y=mhx+bh
Um die Geradengleichung von h zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden h liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel E(−1∣0) und A(0∣3). Bestimme mit diesen die Steigung von h mit der Formel.
mh=xA−xEyA−yE
Setz die Werte ein.
mh=0−(−1)3−0=3
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bh, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf h liegt, oder abliest, bei welchem Wert h die y-Achse schneidet.
h(x):y=mhx+bh
Setz zum Beispiel A ein.
3=3⋅0+bh
Vereinfache.
3=bh⇒bh=3
Also lautet die Geradengleichung h(x)=3⋅x+3.
i(x):y=mix+bi
Um die Geradengleichung von i zu bestimmen, liest du zuerst zwei Punkte aus dem Diagramm ab, die auf der Geraden i liegen. In diesem Fall ergibt sich zum Beispiel F(0∣−3) und S(6∣0). Bestimme mit diesen die Steigung von i mit der Formel.
mi=xS−xFyS−yF
Setz die Werte ein.
mi=6−00−(−3)=21
Bestimme jetzt den y-Achsenabschnitt bi, indem du einen Punkt in die allgemeine Geradengleichung einsetzt, der auf i liegt, oder abliest, bei welchem Wert i die y-Achse schneidet.
i(x):y=mix+bi
Setz zum Beispiel F ein.
−3=21⋅0+bi
Vereinfache.
−3=bi⇒bi=−3
Also lautet die Geradengleichung i(x)=21⋅x−3.
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Bestimme den Schnittpunkt von g und h , sowie die Nullstelle von f.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Schnittpunkt P(xp∣yp) von g und h
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach x um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) g(x):y=41x+1 und h(x):y=3x+3.
41xP+1 = 3xP+3 −3xp−1 ↓ Subtrahiere 3xP und 1.
−411xP = 2 ÷(−411) ↓ Dividiere durch −411.
xp = −118 Setz nun −118 in die Geradengleichung von g oder h ein, um yP zu bestimmen.
h(xP):yP=3⋅xP+3
Setz xP ein.
yP=3⋅(−118)+3=119
Die Geraden g und h schneiden sich also bei P(−118119).
Die Nullstelle xNf von f bestimmst du, indem du die Funktionsgleichung f(x):y=−41x+3 mit 0 gleichsetzt und nach x umformst.
−41xNf+3 = 0 −3 −41xNf = −3 :41 xNf = 12 Die Nullstelle von f ist also 12.
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Berechne die beiden Schnittpunkte, die außerhalbdes Bildbereichs liegen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte zweier Funktionen berechnen
Der Schnittpunkt von h und i und der Schnittpunkt von g und i liegen außerhalb des Bildbereichs.
Schnittpunkt T(xT∣yT) von h und i
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach x um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) h(x):y=3x+3 und i(x):y=21x−3.
3xT+3 = 21xT−3 −21x−3 25xT = −6 :25 xT = −512 Setz nun −512 in die Geradengleichung von h oder i ein, um yT zu bestimmen.
h(xT):yT=3⋅xT+3
Setz xT ein.
yT=3⋅(−512)+3=−521
Die Geraden h und i schneiden sich also bei T(−512−521).
Schnittpunkt Q(xQ∣yQ) von g und i
Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu bestimmen, setzt du diese gleich und formst nach x um. Die Funktionsgleichungen lauten (Teilaufgabe a) g(x):y=41x+1 und i(x):y=21x−3.
41xQ+1 = 21xQ−3 −21x−1 −41xQ = −4 :(−41) xQ=16
Setz nun 16 in die Geradengleichung von g oder i ein, um yQ zu bestimmen.
g(xQ):yQ=41⋅xQ+1
Setz xQ ein.
yQ=41⋅16+1=5
Die Geraden g und i schneiden sich also bei Q(16∣5).
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Wie viele Schnittpunkte gibt es höchstens bei vier Geraden, die jeweils nicht parallel sind?
Schnittpunkte kann es höchstens geben.Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
Es gibt insgesamt 6 Schnittpunkte, nämlich die folgenden:
f und g
f und h
f und i
g und h
g und i
h und i
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