Artikel in Arbeit

Das "Felder-Abstreichen" ist eine Methode, die dazu dient, nur mit Hilfe der Nullstellen einen ungefähren Überblick über den Verlauf des Graphen zu erhalten.

Sie wird normalerweise auf Polynomfunktionen angewandt.

Funktion, gegeben durch Funktionsterm

$$f(x)=\frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2$$

Graph der Funktion

Vorgehensweise

Beim Felder-Abstreichens geht man in folgenden Schritten vor:

  1. Nullstellen der Funktion bestimmen
  • Koordinatensystem anlegen und Bereiche abgrenzen

  • Vorzeichen der Funktion in den einzelnen Bereichen ermitteln und Felder kennzeichnen, durch die der Graph verläuft bzw. nicht verläuft
    ("Felder abstreichen")

  • Ungefähren Graphenverlauf einzeichnen

Tipps und Details, Vorgehensweise am Beispiel

Erster Schritt: Nullstellen bestimmen

Als erstes muss man die Nullstellen der Funktion herausfinden.

Wie das im Einzelnen geht, hängt natürlich von der Funktion ab.

Tipps
  • Manchmal sind die Nullstellen bereits irgendwo in der Aufgabenstellung angegeben bzw. in einer Teilaufgabe zuvor berechnet worden.

  • Wenn eine Polynomfunktion in Linearfaktordarstellung gegeben ist, kann man die Nullstellen (und außerdem ihre Vielfachheiten) in einfacher Weise aus dem Funktionsterm ablesen.

  • Ansonsten muss man die Nullstellen zunächst berechnen, bevor man weitermachen kann.

Im Beispiel:

Die Funktion %%f%% sei gegeben durch Funktionsterm

$$f(x)=\frac{1}{6} x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2$$

Wenn man die Nullstellen von dieser Funktion bestimmt, erhält man nach einiger Rechnung:

%%x_1=-2%%
%%x_2=0%%
%%x_3=3%%

Zweiter Schritt: Graphik anlegen

Dann

  • legt man ein Koordinatensystem an,
  • trägt die Nullstellen ein,
  • und grenzt die Bereiche ab.

Dazu zieht man bei den Nullstellen jeweils eine dünne, zur x-Achse senkrechte Hilfslinie als "Grenzlinie" zwischen den Bereichen.

(Außerdem muss man solche Grenzlinien ziehen bei Definitionslücken und bei Sprungstellen der Funktion; bei Polynomfunktionen gibt es aber weder Definitionslücken noch Sprungstellen.)

Tipp

Das Koordinatensystem sollte man aus Gründen der Übersichtlichkeit mit dem Lineal zeichnen.
Aber man braucht sich über die Details (Größe nach oben und unten, Maßstab usw.) nicht so viel Gedanken zu machen wie sonst;
denn die Methode des Felder-Abstreichens liefert ohnehin keinen genauen Graphen, sondern nur einen ungefähren Überblick über den Verlauf.

Im Beispiel:

Skizziertes Koordinatensystem mit den abgegrenzten Bereichen: Graphik: Koordinatensystem mit den eingezeichneten Grenzlinien

Hier sind bei den Nullstellen -2, 0 und 3 jeweils Linien eingezeichnet, um die Bereiche abzugrenzen.

Dritter Schritt: Vorzeichen der einzelnen Bereiche ermitteln, Felder kennzeichnen

Vorzeichen ermitteln

Als nächstes bestimmt man das Vorzeichen der Funktionswerte in jedem der Bereiche.

  • Dazu braucht man einfach nur für jeden Bereich einen x-Wert in die Funktion einzusetzen.
Warum reicht ein x-Wert?

Das Vorzeichen, das sich für den Funktionswert ergibt, muss dann für den ganzen Bereich dasselbe sein, da sich das Vorzeichen ja - außer bei Definitionslücken oder Sprungstellen - nur an einer Nullstelle ändern kann.

Im Beispiel:

%%f(-4)= …=\frac{112}{3}>0%%
%%\Rightarrow f(x)>0%% für %%x\in ]-\infty; -2[%%

%%f(-1)= …=-\frac{2}{3}<0%%
%%\Rightarrow f(x)<0%% für %%x\in ] -2;0[%%

%%f(1)= …=-1<0%%
%%\Rightarrow f(x)<0%% für %%x\in ]0;3[%%

%%f(4)= …=16>0%%
%%\Rightarrow f(x)>0%% für %%x\in ]3;\infty[%%

  • Bei Polynomfunktionen kann man das Vorzeichen für die späteren Bereiche auch mit der Vielfachheit der Nullstellen erschließen.
Wie macht man das?

Man setzt

  • nur für den ersten Bereich ein x ein (oder überlegt sich das Verhalten für %%x\to-\infty%%),
  • und berücksichtigt bei den folgenden Bereichen die Vielfachheit der dazwischenliegenden Nullstelle:
    Bei einer Nullstelle mit ungeradzahliger Vielfachheit ändert sich das Vorzeichen, bei einer Nullstelle mit geradzahliger Vielfachheit bleibt es gleich.

Im Beispiel:

Felder kennzeichnen

Wenn man die Vorzeichen kennt, streicht man üblicherweise für jeden Bereich dasjenige Feld weg, durch das der Graph sicher nicht verläuft, also

  • das Feld unterhalb der x-Achse, falls die Funktionswerte positiv sind
  • bzw. das Feld oberhalb der x-Achse, falls die Funktionswerte negativ sind.

Im Beispiel:

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Vierter Schritt: Groben Graphenverlauf einzeichnen

Nachdem man alle "verbotenen" Bereiche weggestrichen hat, zeichnet man aus der freien Hand den ungefähren Verlauf des Graphen durch die "erlaubten" Felder ein.

Wie zeichnet man das genau?

Eine exakten Graphenverlauf kann man mit der Methode des Felder-Abstreichens nicht erhalten.

(Einen etwas genaueren Verlauf bekommt man natürlich, wenn man weitere x-Werte in die Funktion einsetzt und eine Wertetabelle anlegt.)

Für einen "genauen" Graphen braucht man außer den Nullstellen auch

  • die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte)
  • und die Wendepunkte der Funktion.

Diese herauszufinden ist (neben anderem) Inhalt der sogenannten Kurvendiskussion.

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Im Beispiel:

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