Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion %%f%% mit der Funktionsgleichung %%f(x)=x^2+4x-5%% anhand deren Nullstellen.

%%f(x)=x^2+4x-5%%

Berechne die Nullstellen von %%f%%, z.B. mit der PQ-Formel:

%%x=-2 \pm \sqrt{2^2 - (-5)}%%

%%\hphantom{x}= -2 \pm \sqrt{9}%%

%%\hphantom{x}= -2 \pm 3 \in \{-5, 1\}%%

Da %%f%% ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen. Somit sind %%-5%% und %%1%% genau die Nullstellen von %%f%%.

%%f(x)=0 \Leftrightarrow%%

%%x^2+4x-5 = 0 \Leftrightarrow%%

%%x \in \{-5,1\}%%

Der %%x%%-Wert %%x_{s}%% des Scheitels liegt genau mittig zwischen diesen beiden Nullstellen.

Also ist %%x_s=-2%%.

Bestimme nun den %%y%%-Wert des Scheitels, indem du den %%x%%-Wert %%x_{s}%% in die Funktionsgleichung von %%f%% einsetzt:

$$\begin{align}f(x_s)&=f(-2)\\&=(-2)^2+4\cdot(-2)-5\\&=4-8-5\\&=-9\end{align}$$

Der Scheitelpunkt von %%f%% ist also %%S=(-2|-9)%%.