Aufgaben zur Berechnung des Scheitelpunktes



Aufgaben
Bestimme mithilfe der Scheitelform den jeweiligen Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.
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f(x)=(x−4)2f\left(x\right)=\left(x-4\right)^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

f(x)=(x−4)2f(x)=(x-4)^2
Die Funktionsgleichung befindet sich bereits in Scheitelform (Scheitelpunktsform): f(x)=a(x−d)2+ef(x)=a(x-d)^2+e.
Lies die Parameter a,d,ea,d,e vom gegebenen Graphen ab.
a=1a=1, d=4d=4 und e=0e=0
Damit ergibt sich der Scheitelpunkt als (d∣e)(d|e).
S=(d∣e)=(4∣0)S=(d|e) = (4|0).
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f(x)=(3+x+2)2f\left(x\right)=\left(3+x+2\right)^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

f(x)=(3+x+2)2f(x)=(3+x+2)^2
Vereinfache die Funktionsvorschrift.
f(x)=(3+x+2)2f(x)=(x+5)2f(x)=(3+x+2)^2\\\hphantom{f(x)}=(x+5)^2
Die Funktion ist in Scheitelpunktform: f(x)=a(x−d)2+ef(x)=a(x−d)^2+e. Lies den Scheitelpunkt ab.
⇒S=(−5∣0)\Rightarrow S=(-5|0)
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f(x)=x2+2x+1f\left(x\right)=x^2+2x+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

Du kannst den Scheitelpunkt finden, indem du die Parabel auf Scheitelform bringst und daraus den Scheitelpunkt abliest:
f(x)=x2+2x+1f(x)=x^2+2x+1
Wende die 1. binomische Formel an.
f(x)=x2+2x+1f(x)=(x+1)2f(x)=x^2+2x+1\\\hphantom{f(x)}=\left(x+1\right)^2
Die Funktion hat nun die Scheitelform.
Lies den Scheitelpunkt ab.
⇒S=(−1∣0)\Rightarrow S=( -1 | 0 )
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Gib jeweils die Koordinaten des Scheitels an.
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f(x)=(x−2)2+1f(x)=\left(x-2\right)^2+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

f(x)=(x−2)2+1f(x)=(x−2)^2+1
Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform. Lies die Parameter aa, dd und ee aus der Formel der Scheitelform.
a=1a=1, d=2d=2 und e=1e=1
Der Scheitelpunkt ergibt sich als S=(d∣e)S=(d|e).
⇒S=(2∣1)\Rightarrow S=(2|1)
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f(x)=−12  +(x+8)2f(x)=-12\;+\left(x+8\right)^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

Die Abbildungsvorschrift ist bereits in Scheitelform, es sind lediglich die beiden Summanden vertauscht. Vertausche deshalb zuerst die Summanden
f(x)=−12+(x+8)2f(x)=(x+8)2−12f(x)=−12+(x+8)^2\\\hphantom{f(x)}=\left(x+8\right)^2 - 12
Lies die Parameter aa, dd und ee aus der Scheitelform ab.
a=1a=1, d=−8d=-8 und e=−12e=-12.
Den Scheitelpunkt erhältst du als S=(d∣e)S=(d|e)
⇒S=(−8∣−12)\Rightarrow S=(-8|-12)
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f(x)=x2−4x+4f(x)= x^2-4x+4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Form und Scheitelform

In dieser Aufgabe kannst du entweder mit der Scheitelform oder allgemeinen Form rechnen.

1. Möglichkeit: Lösen anhand der Scheitelform

f(x)=x2−4x+4f(x)=x^2-4x+4
Wende die 2. binomische Formel an.
f(x)=x2−4x+4f(x)=(x−2)2f(x)=x^2-4x+4\\\hphantom{f(x)}=\left(x-2\right)^2
Jetzt kannst du den Scheitelpunkt ablesen, da die Funktion in Scheitelform ist.
⇒S=(2∣0)\Rightarrow S=(2|0)


2. Möglichkeit: Lösen anhand der allgemeinen Form

f(x)=x2−4x+4f(x)=x^2-4x+4
Bestimme aa, bb und cc aus der allgemeinen Form.
a=1,b=−4,c=4a=1, b=-4, c=4
Nun kannst du diese in die Formel
S=(−b2⋅a∣c−b24a)S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)
einsetzen.
S=(−(−4)2⋅1∣4−(−4)24⋅1)S=\left(-\frac{(-4)}{2\cdot1} \left|4-\frac{(-4)^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
⇒S=(2∣0)\Rightarrow S=(2|0)
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f(x)=x2+2x−3f(x)= x^2+2x-3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: allgemeine Form und Scheitelform

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

f(x)=x2+2x−3f(x)=x^2+2x-3
f(x)=x2+2x+1−1−3\hphantom{f(x)}=x^2+2x+1-1-3
Benutze die 1. binomische Formel.
=(x+1)2−4=\left(x+1\right)^2-4
Da die Parabel jetzt in Scheitelform ist, kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
⇒S=(−1∣−4)\Rightarrow S=(-1|-4)


2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

x2+2x−3x^2+2x-3
Bestimme aa, bb, cc aus der allgemeinen Form.
a=1a=1, b=2b=2, c=−3c=-3
Setze aa, bb, cc in die Formel ein.
S=(−22⋅1∣−3−224⋅1)S=\left(-\dfrac{2}{2\cdot1}\left|-3-\dfrac{2^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
⇒S=(−1∣−4)\Rightarrow S=(-1|-4)
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f(x)=(3−x)2f(x)=\left(3-x\right)^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

In dieser Aufgabe ist die Parabel schon beinahe in Scheitelform gegeben; die restlichen nötigen Umformungen lauten:
f(x)=(3−x)2f(x)=\left(3-x\right)^2
Klammere −1-1 aus.
f(x)=((−1)(x−3))2\hphantom{f(x)}=\left(\left(-1\right)\left(x-3\right)\right)^2
Quadriere die einzelnen Faktoren.
f(x)=(x−3)2\hphantom{f(x)}=\left(x-3\right)^2
Lies den Scheitelpunkt ab.
⇒S=(3∣0)\Rightarrow S=(3|0)
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Bestimme den Scheitelpunkt der folgenden Funktionen.
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f(x)=3(x−2)2−4f\left(x\right)=3\left(x-2\right)^2-4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

Gegeben ist f(x)=3(x−2)2−4f(x)=3(x−2)^2−4
Die Funktion f(x)f(x) liegt bereits in Scheitelform vor. Lies die Parameter aa, dd und ee der Scheitelform ab.
a=3a=3, d=2d=2 und e=−4e=-4
Dann ist S=(d∣e)S=(d|e) der Scheitelpunkt von ff.
⇒S=(2∣−4)\Rightarrow S=(2|-4)
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f(x)=2((x+1,5)2+1)f\left(x\right)=2\left(\left(x+1{,}5\right)^2+1\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

f(x)=2((x+1,5)2+1)f(x)=2\left(\left(x+1{,}5\right)^2+1\right)
Multipliziere die Klammern aus
2((x+1,5)2+1)=2(x+1,5)2+22\left(\left(x+1{,}5\right)^2+1\right)=2\left(x+1{,}5\right)^2+2
Lies den Scheitelpunkt ab.
⇒S=(−1,5∣2)\Rightarrow S=(-1{,}5\mid2)
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f(x)=2x2−4,8x+0,88f\left(x\right)=2x^2-4{,}8x+0{,}88

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

f(x)=2x2−4,8x+0,88f(x)=2x^2-4{,}8x+0{,}88
Klammere 22 vor den xx-Termen aus.
f(x)=2(x2−2,4x)+0,88\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2{,}4x\right)+0{,}88
Ergänze quadratisch mit 1,221{,}2^2.
f(x)=2(x2−2⋅1,2x+1,22−1,22)+0,88\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2-1{,}2^2\right)+0{,}88
Multipliziere die Klammer aus.
f(x)=2(x2−2⋅1,2x+1,22)−2,88+0,88\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2{,}88+0{,}88
Fasse zusammen.
f(x)=2(x2−2⋅1,2x+1,22)−2\hphantom{f(x)}=2\left(x^2-2\cdot1{,}2x+1{,}2^2\right)-2
Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
f(x)=2(x−1,2)2−2\hphantom{f(x)}=2\left(x-1{,}2\right)^2-2
Lies den Scheitelpunkt ab.
⇒S=(1,2∣−2)\Rightarrow S=(1{,}2\mid-2)


2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

f(x)=2x2−4,8x+0,88f(x)=2x^2-4{,}8x+0{,}88
Bestimme aa, bb, cc aus der allgemeinen Form.
a=2a=2, b=−4,8b=-4{,}8, c=0,88c=0{,}88
Setze aa, bb, cc in die Formel ein.
S=(−(−4,8)2⋅2 | 0,88−(−4,8)24⋅2)S=\left(-\dfrac{(-4{,}8)}{2\cdot2}\,\middle\vert\,0{,}88-\dfrac{(-4{,}8)^2}{4\cdot2}\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
⇒S=(1,2∣−2)\Rightarrow S=(1{,}2\mid-2)

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f(x)=(x−2)(x+3)f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

1. Möglichkeit: Lösung anhand der Scheitelform

f(x)=(x−2)(x+3)f(x)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)
Multipliziere aus
f(x)=x2+x−6\hphantom{f(x)}=x^2+x-6
f(x)=x2+2⋅12x+(12)2−(12)2−6\hphantom{f(x)}=x^2+2\cdot \frac12x+(\frac12)^2-(\frac12)^2-6
Verwende die 1. binomische Formel
f(x)=(x+0,5)2−6,25\hphantom{f(x)}=\left(x+0,5\right)^2-6,25
Lies nun den Scheitelpunkt ab.
⇒S=(−12∣−614)\Rightarrow S=(-\frac12|-6\frac14)

2. Möglichkeit: Lösung anhand der allgemeinen Form

f(x)=(x−2)(x+3)f(x)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)
Multipliziere aus.
f(x)=x2+x−6\hphantom{f(x)}=x^2+x-6
Bestimme aa, bb, cc aus der allgemeinen Form.
a=1a=1, b=1b=1, c=−6c=-6
Setze aa, bb, cc in die Formel ein.
S(−12⋅1∣−6−124⋅1)S\left(-\dfrac{1}{2\cdot1}\left|-6-\dfrac{1^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
⇒S=(−12∣−614)\Rightarrow S=(-\frac12|-6\frac14)

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Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion ff mit der Funktionsgleichung f(x)=x2+4x−5f(x)=x^2+4x-5 anhand deren Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel

f(x)=x2+4x−5f(x)=x^2+4x-5
Berechne die Nullstellen von ff, z.B. mit der PQ-Formel:
x=−2±22−(−5)x=-2 \pm \sqrt{2^2 - (-5)}
x=−2±9\hphantom{x}= -2 \pm \sqrt{9}
x=−2±3∈{−5,1}\hphantom{x}= -2 \pm 3 \in \{-5, 1\}
Da ff ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen. Somit sind −5-5 und 11 genau die Nullstellen von ff.
f(x)=0⇔f(x)=0 \Leftrightarrow
x2+4x−5=0⇔x^2+4x-5 = 0 \Leftrightarrow
x∈{−5,1}x \in \{-5,1\}
Der xx-Wert xsx_{s} des Scheitels liegt genau mittig zwischen diesen beiden Nullstellen.
Also ist xs=−5+12=−42=−2x_s= \dfrac{-5 + 1}{2} = \dfrac{-4}{2}=-2.
Bestimme nun den yy-Wert des Scheitels, indem du den xx-Wert xsx_{s} in die Funktionsgleichung von ff einsetzt:
f(xs)=f(−2)=(−2)2+4⋅(−2)−5=4−8−5=−9\displaystyle \begin{array}{rcl} f(x_s)&=& f(-2)\\ &=&(-2)^2+4\cdot(-2)-5\\ &=&4-8-5\\&=&-9 \end{array}
Der Scheitelpunkt von ff ist also S=(−2∣−9)S=(-2|-9).
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Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion ff mit der Funktionsgleichung f(x)=−2x2+6x−2,5f(x)=-2x^2+6x-2,5 anhand ihrer Nullstellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel

f(x)=−2x2+6x−2,5f(x)=−2x^2+6x−2,5
Berechne die Nullstellen von ff, z.B. mit der Mitternachtsformel:
x1/2=−6±62−4⋅(−2)⋅(−2,5)2⋅(−2)=−6±36−20−4=−6±16−4=−6±4−4  ⟹  x1=12,x2=52\begin{array}{rcl} x_{1/2} &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot (-2)\cdot(-2,5)}}{2\cdot (-2)}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{36 - 20}}{-4}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm \sqrt{16}}{-4}\\\\ &=& \dfrac{-6 \pm 4}{-4}\\ \implies x_1 &=& \dfrac{1}{2}\qquad,\qquad x_2 = \dfrac{5}{2} \end{array}
Da ff ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen.
Die Nullstellen von ff sind also 0,50,5 und 2,52,5.
Der xx-Wert des Scheitels xsx_s liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen.Die Zahl 1,51,5 liegt zwischen 0,50,5 und 2,52,5.
Also ist xs=0,5+2,52=23=1,5x_s= \dfrac{0{,}5 + 2{,}5}{2} = \dfrac23 = 1,5.
Bestimme nun den yy-Wert des Scheitels, indem du den xx-Wert in die Funktionsgleichung von ff einsetzt.
f(xs)=f(0)=−2⋅(1,5)2+6⋅1,5−2,5=2f(x_s)= f(0)=-2 \cdot (1,5)^2+6 \cdot 1,5-2,5=2
Der Scheitelpunkt von ff ist demnach S=(1,5∣2)S=(1,5|2).
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Gib die Koordinaten des Scheitels folgender Funktionen an.
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g1:  x↦x2−2g_1:\;x\mapsto x^2-2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

g1(x)=x2−2g_{1}(x)=x^2−2
Die Funktion ist schon in Scheitelpunktform gegeben. Lies den Scheitelpunkt ab.
⇒S=(0∣−2)\Rightarrow S=(0\mid-2)
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g2 ⁣:x↦x2+1,2−0,4g_2\colon x\mapsto x^2+1{,}2-0{,}4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

g2(x)=x2+1,2−0,4g_{2}(x)=x^2+1{,}2−0{,}4
Vereinfache den Term und lies den Scheitelpunkt ab.
g2(x)=x2+1,2−0,4g2(x)=x2+0,8g_2(x)=x^2+1,2−0,4\\\hphantom{g_2(x)}= x^2+0{,}8
⇒S=(0∣0,8)\Rightarrow S=(0\mid0{,}8)
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Bestimme den Scheitel:

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%%f(x)=x^2-3x-\frac34%% (mit quadratischer Ergänzung)

Scheitelpunkt bestimmen

%%f(x)=x^2-3x-\frac34%%

Ergänze quadratisch.

%%\hphantom{f(x)}=x^2-2\cdot1,5x+1,5^2-1,5^2-\frac34%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-2,25-\frac34%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=\left(x-1,5\right)^2-3%%

Lies den Scheitel ab.

%%\Rightarrow S=\left(1,5|-3\right)%%

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%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f(x)=-\frac14x^2+6x-11%%

Klammere aus.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-24x\right)-11%%

Ergänze quadratisch.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2-12^2\right)-11%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+36-11%%

Fasse zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+25%%

Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen

%%\hphantom{f(x)}=-\frac14\left(x-12\right)^2+25%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\left(12|25\right)%%

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%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%  (mit Hilfe der Nullstellen)

Scheitelform bestimmen

%%f(x)=\frac12x^2+4x-24%%

Berechne die Nullstellen mit der  Mitternachtsformel.

$$\begin{align}x&=\frac{-4\pm\sqrt{16+4\cdot0,5\cdot24}}{2\cdot0,5}\\&=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{1}\\&=-4\pm8\end{align}$$

Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : %%\frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4%%.

Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.

$$\begin{align}f(-4)&=0,5 \cdot \left(-4\right)^2+4\cdot\left(-4\right)-24\\&=-32\end{align}$$

%%\Rightarrow S=\left(-4|-32\right)%%

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%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

Quadratisch ergänzen und Scheitelpunkt bestimmen

%%f\left(x\right)=-2x^2+8x+10%%

Klammere die %%-2%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x\right)+10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%4%%.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x^2-4x+2^2-2^2\right)+10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]+10%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+8+10%%

Bringe den Term auf Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=-2\left(x-2\right)^2+18%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow\;\mathrm S=\left(2\vert18\right)%%

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%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

Quadratisch ergänzen und Scheitelpunkt bestimmen

%%f\left(x\right)=3x^2-4x+18%%

Klammere %%3%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2- \frac{4}{3}x\right)+18%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac{\mathbf4}{\mathbf3}%%.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x^2-\frac43 x+\left(\frac23\right)^2-\left(\frac23\right)^2\right)+18%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=3\left[\left(x-\frac23\right)^2-\frac49\right]+18%%

Löse die eckige Klammer auf.

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2-\frac43+18%%

Bringe den Term auf Scheitelform .

%%\hphantom{f(x)}=3\left(x-\frac23\right)^2+16\frac23%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(\frac23\vert16\frac23\right)%%

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%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

Quadratisch ergänzen und Scheitelpunkt bestimmen

%%f\left(x\right)=-5x^2-x-2%%

Klammere %%-5%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x^2+\frac15x\right)-2%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von %%\frac15%%.

%%\hphantom{f(x)}=(-5)\cdot\left(x^2+\frac15x+\left(\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(\left(x+\frac1{10}\right)^2-\left(\frac1{10}\right)^2\right)-2%%

Multpliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2+\frac5{100}-2%%

Berechne die rechte Summe.

%%\hphantom{f(x)}=-5\left(x+\frac1{10}\right)^2-1,95%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\Rightarrow S=\;\left(\left.-\frac1{10}\right|-1,95\right)%%

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%%f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10%%

Quadratisch ergänzen und Scheitelpunkt bestimmen

%%f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10%%

Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1x^2+2x-10%%

Klammere %%0{,}1%% aus den ersten beiden Summanden aus.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x^2+20x\right)-10%%

Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x^2+20x+10^2-{10}^2\right)-10%%

Wende die 2. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1{\left(\left(x+10\right)^2-100\right)}-10%%

Multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x+10\right)^2-10-10%%

Bringe den Term auf die Scheitelform.

%%\hphantom{f(x)}=0{,}1\left(x+10\right)^2-20%%

Lies den Scheitelpunkt ab.

%%\;\Rightarrow\;S=\left(-10\mid-20\right)%%

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%%f(x)=\frac12x^2+3x-4%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%\frac12x^2+3x−4=0%%

Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.

%%x_1= \dfrac{-3+\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_1}=-3+\sqrt{17}%%

%%x_2= \dfrac{-3-\sqrt{3^2-4\cdot0,5\cdot(-4)}}{2\cdot0,5}%%
%%\hphantom{x_2} = -3-\sqrt{17}%%

Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: %%x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-6}{2} = -3%%

Setzt man diesen %%x%%-Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes:

%%f(x_s)= \frac12 \cdot 9 -9 -4= -8,5%%

%%\Rightarrow S=(-3|-8,5)%%

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%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

Quadratisch ergänzen und Scheitelpunkt bestimmen

%%f(x)=\frac23x^2+8x%%

Klammere %%\frac23%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x)%%

Ergänze quadratisch.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23(x^2+12x+6^2-6^2)%%

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac23((x+6)^2-36)%%

Multipliziere die Klammer aus.

 

 

%%\hphantom{f(x)}=\frac23 (x+6)^2 - 24%%

%%f%% ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-6|-24)%%

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%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

Quadratisch ergänzen und Scheitelpunkt bestimmen

%%f(x)=\frac56x^2+x-1%%

 

Klammere %%\frac56%% aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\left(x^2+\frac65x-\frac65\right)%%

 

Ergänze quadratisch.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left(x^2+\frac65x+(\frac35)^2-(\frac{3}{5})^2-\frac65\right)%%

 

Wende die 1. binomische Formel an.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56\cdot\left( \left(x+\frac35\right)^2-\frac{9}{25} -\frac{30}{25} \right)%%

Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac56 \cdot \frac{39}{25}%%

%%\hphantom{f(x)}=\frac56 (x+\frac35)^2 - \frac{39}{30}%%

Nun hast du %%f%% in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

%%\Rightarrow S=(-\frac35|-1\frac{3}{10})%%

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%%f(x)=-0{,}5x^2+20x-30%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=−0,5x^2+20x−30=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%x_1=\dfrac{-20+\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=+20-\sqrt{340}%%

%%x_2=\dfrac{-20-\sqrt{20^2-4\cdot(-0,5)(-30)}}{2\cdot(-0,5)}=20 +\sqrt{340}%%

%%x_{1}%% und %%x_{2}%% sind damit reelle Zahlen und es gilt:

%%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{40}{2}=20%%

Setzt man den %%x%%-Wert %%x_{s}%% des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen %%y%%-Wert:

%%f(x_{s})=f(20)=−0,5 \cdot 20^2+20 \cdot 20−30 = -200 + 400-30=170%%

%%\Rightarrow S=(20 | 170)%%

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%%f(x)=-\frac34x^2+x%%

Scheitelpunkt bestimmen

%%f%% ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen %%x_{1}, x_{2}%%. Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt %%x_{s}%% aufgrund der Symmetrie von %%f%% genau mittig zwischen ihnen: %%x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}%%.

Bestimme zunächst die Nullstellen von %%f%%:

%%f(x)=\dfrac{-3}{4}x^2+x=0%%

Klammere %%x%% aus.

%%\Leftrightarrow x(\frac{-3}{4}x+1)=0%%

Eine Nullstelle ist also %%x=0%%. Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du %%\frac{-3}{4}x+1=0%% weiter nach %%x%% auflöst:

%%\frac{-3}{4}x=-1%%

|%%\cdot\frac{-4}{3}%%

%%x=\frac43%%

Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

Der Scheitelpunkt hat also den %%x%%-Wert %%x_{s}=\frac{x_1 + x_2}{2}=\frac12 \cdot \frac43= \frac23%%.

Setze den %%x%%-Wert in die Funktionsvorschrift ein.
So bekommst du den %%y%%-Wert des Scheitelpunktes.

%%f(x_{s})=f(\frac23)=\frac{-3}{4}\cdot(\frac23)^2+\frac23=\frac{-3}{4} \cdot \frac{4}{9}+\frac23=-\frac13+\frac23=\frac13%%.

%%\Rightarrow S=(\frac 23 | \frac13)%%

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%%f(x)=10x^2+100%%

Gib die Scheitelform der Funktionsgleichung der abgebildeten Parabel ff an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parabel

Die Parabel ff hat ihren Scheitel im Punkt (1∣1)(1|1).
  • Die Funktionsgleichung ist also von der Form f(x)=a(x−1)2+1f(x)=a(x-1)^2+1, wobei du aa noch zu bestimmen hast.
Wie du anhand der Graphik erkennen kannst, durchläuft ff auch den Punkt (3∣3)(3|3). Es gilt also:
f(3)f\left(3\right)==33
↓
Setze die Abbildungsvorschrift von ff ein.
a(3−1)2+1a(3-1)^2+1==33
↓
Vereinfache
a⋅22+1a\cdot2^2+1==33|−1-1
4a4a==22|:4:4
aa==0,50,5
Somit ist f(x)=0,5(x−1)2+1f(x) = 0,5(x-1)^2+1.
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Berechne den Scheitelpunkt folgender Funktionen mithilfe der Formel.
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f(x)=x2+6x+9f(x) = x^2 + 6x + 9

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion

f(x)=x2+6x+9f(x)=x^2+6x+9
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten aa, bb und cc direkt ablesen kann.
a=1,b=6,c=9a=1, b=6, c=9
Nun kann man diese in die Formel
S=(−b2⋅a∣c−b24a)S=\left (-\dfrac b{2\cdot a} \left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)
einsetzen.
S=(−62⋅1∣9−624⋅1)S=\left(-\frac{6}{2\cdot1} \left|9-\frac{6^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
⇒S=(−3∣0)\Rightarrow S=(-3|0)
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f(x)=x2−6x+10f(x)=x^2-6x+10

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion

Gegeben:
f(x)=x2−6x+10f(x)=x^2-6x+10
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten a,b und c direkt ablesen kann.
a=1,b=−6,c=10a=1, b=-6, c=10
Nun kannst du diese in die Formel
S=(−b2⋅a∣c−b24a)S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)
einsetzen.
S=(−(−6)2⋅1∣10−(−6)24⋅1)S=\left (-\frac{(-6)}{2\cdot1} \left|10-\frac{(-6)^2}{4\cdot1}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
⇒S=(3∣1)\Rightarrow S=\left(3\vert1\right).
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f(x)=2x2+x−3f(x)= 2x^2+x-3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Funktion

Gegeben:
f(x)=2x2+x−3f(x)=2x^2+x-3
Die Funktion befindet sich bereits in der allgemeinen Form, sodass man die Koeffizienten aa,bb und cc direkt ablesen kann.
a=2,b=1,c=−3a=2, b=1, c=-3
Nun kann man diese in die Formel
S=(−b2⋅a∣c−b24a)S=\left(-\dfrac b{2\cdot a}\left|c-\dfrac{b^2}{4a}\right.\right)
einsetzen.
S=(−12⋅2∣−3−124⋅2)S=\left(-\frac1{2\cdot2}\left|-3-\frac{1^2}{4\cdot2}\right.\right)
Fasse die Terme zusammen, indem du Brüche kürzt und subtrahierst.
⇒S=(−14∣−258)\Rightarrow S=\left(-\frac14\vert-\frac{25}{8}\right).
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