Aufgaben zur Berechnung des Scheitelpunktes

…

Bestimme den Scheitelpunkt:

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl

$f(x)=x^2-3x-\frac34$ (mit quadratischer Ergänzung)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle x^2-3x-\frac{3}{4}$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle x^2-2\cdot1{,}5x+1{,}5^2-1{,}5^2-\frac{3}{4}$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(x-1{,}5\right)^2-2{,}25-\frac{3}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left(x-1{,}5\right)^2-3$
	↓	Lies den Scheitel ab.

$\Rightarrow S\left(1{,}5|-3\right)$

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$f(x)=-\frac14x^2+6x-11$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}x^2+6x-11$
	↓	Klammere aus.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2-24x\right)-11$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2\cdot2\cdot12x+12^2-12^2\right)-11$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+36-11$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x^2-2\cdot12x+12^2\right)+25$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{4}\left(x-12\right)^2+25$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow S\left(12|25\right)$

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$f(x)=\frac12x^2+4x-24$ (mit Hilfe der Nullstellen)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+4x-24$
	↓	Berechne die Nullstellen mit der Mitternachtsformel.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{16+4\cdot0{,}5\cdot24}}{2\cdot0{,}5}$
	↓	Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : $\frac{-12 + 4}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{-4\pm\sqrt{64}}{1}$
	↓	Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.
	$=$	$\displaystyle -4\pm8$
$\displaystyle f\left(-4\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(-4\right)^2+4\cdot\left(-4\right)-24$
	$=$	$\displaystyle -32$

$\Rightarrow S\left(-4|-32\right)$

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$f\left(x\right)=-2x^2+8x+10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -2x^2+8x+10$
	↓	Klammere die $-2$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$\displaystyle -2\left(x^2-4x\right)+10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $4$ .
	$=$	$\displaystyle -2\left(x^2-4x+2^2-2^2\right)+10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle -2\left[\left(x-2\right)^2-4\right]+10$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle -2\left(x-2\right)^2+8+10$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform.
	$=$	$\displaystyle -2\left(x-2\right)^2+18$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow\;\mathrm S\left(2\vert18\right)$

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$f\left(x\right)=3x^2-4x+18$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 3x^2-4x+18$
	↓	Klammere $3$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$\displaystyle 3\left(x^2-\frac{4}{3}x\right)+18$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac{\mathbf4}{\mathbf3}$ .
	$=$	$\displaystyle 3\left(x^2-\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)+18$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle 3\left[\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{9}\right]+18$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle 3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2-\frac{4}{3}+18$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform .
	$=$	$\displaystyle 3\left(x-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{50}3$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\;\Rightarrow\;S\left(\frac23\vert\frac{50}3\right)$

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$f\left(x\right)=-5x^2-x-2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -5x^2-x-2$
	↓	Klammere $-5$ aus.
	$=$	$\displaystyle -5\left(x^2+\frac{1}{5}x\right)-2$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac15$ .
	$=$	$\displaystyle \left(-5\right)\cdot\left(x^2+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^2-\left(\frac{1}{10}\right)^2\right)-2$
	↓	Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$\displaystyle -5\left(\left(x+\frac{1}{10}\right)^2-\left(\frac{1}{10}\right)^2\right)-2$
	↓	Multpliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle -5\left(x+\frac{1}{10}\right)^2+\frac{5}{100}-2$
	↓	Berechne die rechte Summe.
	$=$	$\displaystyle -5\left(x+\frac{1}{10}\right)^2-\frac{39}{20}$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\Rightarrow S=\;\left(\left.-\frac1{10}\right|-\frac{39}{20}\right)$

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$f\left(x\right)=2x+0{,}1x^2-10$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x+0{,}1x^2-10$
	↓	Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1x^2+2x-10$
	↓	Klammere $0{,}1$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x^2+20x\right)-10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x^2+20x+10^2-10^2\right)-10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(\left(x+10\right)^2-100\right)-10$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x+10\right)^2-10-10$
	↓	Bringe den Term auf die Scheitelform.
	$=$	$\displaystyle 0{,}1\left(x+10\right)^2-20$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\;\Rightarrow\;S\left(-10\mid-20\right)$

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$f(x)=\frac12x^2+3x-4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle \frac{1}{2}x^2+3x-4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle \frac{-3+\sqrt{3^2-4\cdot0{,}5\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot0{,}5}$
	↓	Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: $x_s = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ Setzt man diesen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den $y$ -Wert des Scheitelpunktes:
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -3+\sqrt{17}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \frac{-3-\sqrt{3^2-4\cdot0{,}5\cdot\left(-4\right)}}{2\cdot0{,}5}$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -3-\sqrt{17}$

$f(x_s)= \frac12 \cdot 9 -9 -4= -8{,}5$

$\Rightarrow S(-3|-8{,}5)$

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$f(x)=\frac23x^2+8x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}x^2+8x$
	↓	Klammere $\frac23$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(x^2+12x\right)$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(x^2+12x+6^2-6^2\right)$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(\left(x+6\right)^2-36\right)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(x+6\right)^2-24$
	↓	$f$ ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

$\Rightarrow S(-6|-24)$

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$f(x)=\frac56x^2+x-1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}x^2+x-1$
	↓	Klammere $\frac56$ aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\left(x^2+\frac{6}{5}x-\frac{6}{5}\right)$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\left(x^2+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2-\frac{6}{5}\right)$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\left(\left(x+\frac{3}{5}\right)^2-\frac{9}{25}-\frac{30}{25}\right)$
	↓	Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}(x+\frac{3}{5})^2-\frac{5}{6}\cdot\frac{39}{25}$
	↓	Zusammenrechnen und kürzen
	$=$	$\displaystyle \frac{5}{6}(x+\frac{3}{5})^2-\frac{13}{10}$
	↓	Nun hast du $f$ in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

$\Rightarrow S(-\frac35|-\frac{13}{10})$

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$f(x)=-0{,}5x^2+20x-30$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f$ ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen $x_{1}, x_{2}$ . Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt $x_{s}$ aufgrund der Symmetrie von $f$ genau mittig zwischen ihnen: $x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ .
Bestimme zunächst die Nullstellen von $f$ :
$f(x)=−0{,}5x^2+20x−30=0$
Wende die Mitternachtsformel an.
$x_1=\dfrac{-20+\sqrt{20^2-4\cdot(-0{,}5)(-30)}}{2\cdot(-0{,}5)}=+20-\sqrt{340}$
$x_2=\dfrac{-20-\sqrt{20^2-4\cdot(-0{,}5)(-30)}}{2\cdot(-0{,}5)}=20 +\sqrt{340}$
$x_{1}$ und $x_{2}$ sind damit reelle Zahlen und es gilt:
$x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{40}{2}=20$
Setzt man den $x$ -Wert $x_{s}$ des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen $y$ -Wert:
$f(x_{s})=f(20)=−0{,}5 \cdot 20^2+20 \cdot 20−30 = -200 + 400-30=170$
$\Rightarrow S(20 | 170)$
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$f(x)=-\frac34x^2+x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen

$f$ ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen $x_{1}, x_{2}$ . Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt $x_{s}$ aufgrund der Symmetrie von $f$ genau mittig zwischen ihnen: $x_{s}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$ .

Bestimme zunächst die Nullstellen von $f$ :

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{4}x^2+x$
	↓	Null setzen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{-3}{4}x^2+x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x(\frac{-3}{4}x+1)$
	↓	Eine Nullstelle ist also $x=0$ . Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du $\frac{-3}{4}x+1=0$ weiter nach $x$ auflöst:
$\displaystyle \frac{-3}{4}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot\frac{-4}{3}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}$
	↓	Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

Der Scheitelpunkt hat also den $x$ -Wert $x_{s}=\frac{x_1 + x_2}{2}=\frac12 \cdot \frac43= \frac23$ .

Setze den $x$ -Wert in die Funktionsvorschrift ein. So bekommst du den $y$ -Wert des Scheitelpunktes.

$f(x_{s})=f(\frac23)=\frac{-3}{4}\cdot(\frac23)^2+\frac23=\frac{-3}{4} \cdot \frac{4}{9}+\frac23=-\frac13+\frac23=\frac13$ .

$\Rightarrow S(\frac 23 | \frac13)$

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$f(x)=10x^2+100$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f(x)=10\cdot x^2+100$
An dieser Funktionsvorschrift kannst du den Scheitelpunkt sofort ablesen, da sie schon in Scheitelpunktform gegeben ist.
$\Rightarrow S(0|100)$
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