Aufgaben zur Berechnung des Scheitelpunktes

Bestimme den Scheitelpunkt:

Gib den Scheitelpunkt nach folgendem Muster an: S(a;b) oder S(a|b), also zum Beispiel S(1,2;3) oder S(1,2|3).

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$f (x) = x^{2} - 3 x - \frac{3}{4}$ (mit quadratischer Ergänzung)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f (x)$ $=$ $x^{2} - 3 x - \frac{3}{4}$
↓
Ergänze quadratisch.
$=$ $x^{2} - 2 \cdot 1,5 x + {1,5}^{2} - {1,5}^{2} - \frac{3}{4}$
↓
Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
$=$ ${(x - 1,5)}^{2} - 2,25 - \frac{3}{4}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ ${(x - 1,5)}^{2} - 3$
↓
Lies den Scheitel ab.
$\Rightarrow S (1,5 | - 3)$
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$f (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + 6 x - 11$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 24$ (mit Hilfe der Nullstellen)

$f (x) = - 2 x^{2} + 8 x + 10$

$f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 18$

$f (x) = - 5 x^{2} - x - 2$

$f (x) = 2 x + 0,1 x^{2} - 10$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 4$

$f (x) = \frac{2}{3} x^{2} + 8 x$

$f (x) = \frac{5}{6} x^{2} + x - 1$

$f (x) = - 0,5 x^{2} + 20 x - 30$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f$ ist ein Polynom zweiten Grades, hat also zwei Nullstellen $x_{1}, x_{2}$ . Sind diese reell, so liegt der Scheitelpunkt $x_{s}$ aufgrund der Symmetrie von $f$ genau mittig zwischen ihnen: $x_{s} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ .
Bestimme zunächst die Nullstellen von $f$ :
$f (x) = - 0,5 x^{2} + 20 x - 30 = 0$
Wende die Mitternachtsformel an.
$x_{1} = \frac{- 20 + \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 0,5) (- 30)}}{2 \cdot (- 0,5)} = + 20 - \sqrt{340}$
$x_{2} = \frac{- 20 - \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 0,5) (- 30)}}{2 \cdot (- 0,5)} = 20 + \sqrt{340}$
$x_{1}$ und $x_{2}$ sind damit reelle Zahlen und es gilt:
$x_{s} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{40}{2} = 20$
Setzt man den $x$ -Wert $x_{s}$ des Scheitelpunktes in die Funktionsvorschrift ein, so erhält man dessen $y$ -Wert:
$f (x_{s}) = f (20) = - 0,5 \cdot 20^{2} + 20 \cdot 20 - 30 = - 200 + 400 - 30 = 170$
$\Rightarrow S (20 | 170)$
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$f (x) = - \frac{3}{4} x^{2} + x$

$f (x) = 10 x^{2} + 100$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt bestimmen
$f (x) = 10 \cdot x^{2} + 100$
An dieser Funktionsvorschrift kannst du den Scheitelpunkt sofort ablesen, da sie schon in Scheitelpunktform gegeben ist.
$\Rightarrow S (0 | 100)$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$f (x)$	$=$	$\frac{- 3}{4} x^{2} + x$
	↓	Null setzen.
$0$	$=$	$\frac{- 3}{4} x^{2} + x$
	↓	Klammere $x$ aus.
$0$	$=$	$x (\frac{- 3}{4} x + 1)$
	↓	Eine Nullstelle ist also $x = 0$ . Die zweite Nullstelle erhältst du, indem du $\frac{- 3}{4} x + 1 = 0$ weiter nach $x$ auflöst:
$\frac{- 3}{4} x$	$=$	$- 1$	$\cdot \frac{- 4}{3}$
$x$	$=$	$\frac{3}{4}$
	↓	Der Scheitelpunkt der Parabel liegt genau zwischen den beiden Nullstellen.

$f (x)$	$=$	$x^{2} - 3 x - \frac{3}{4}$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$x^{2} - 2 \cdot 1,5 x + {1,5}^{2} - {1,5}^{2} - \frac{3}{4}$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen.
	$=$	${(x - 1,5)}^{2} - 2,25 - \frac{3}{4}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	${(x - 1,5)}^{2} - 3$
	↓	Lies den Scheitel ab.

$f (x)$	$=$	$- \frac{1}{4} x^{2} + 6 x - 11$
	↓	Klammere aus.
	$=$	$- \frac{1}{4} (x^{2} - 24 x) - 11$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$- \frac{1}{4} (x^{2} \cdot 2 \cdot 12 x + 12^{2} - 12^{2}) - 11$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$- \frac{1}{4} (x^{2} - 2 \cdot 12 x + 12^{2}) + 36 - 11$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$- \frac{1}{4} (x^{2} - 2 \cdot 12 x + 12^{2}) + 25$
	↓	Fasse zur 2. binomischen Formel zusammen
	$=$	$- \frac{1}{4} {(x - 12)}^{2} + 25$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 24$
	↓	Berechne die Nullstellen mit der Mitternachtsformel.
$x$	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot 0,5 \cdot 24}}{2 \cdot 0,5}$
	↓	Der Mittelpunkt der beiden Nullstellen ist der Scheitelpunkt : $\frac{- 12 + 4}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4$ .
	$=$	$\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{1}$
	↓	Berechne die y-Koordinate des Scheitelpunktes.
	$=$	$- 4 \pm 8$
$f (- 4)$	$=$	$0,5 \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot (- 4) - 24$
	$=$	$- 32$

$f (x)$	$=$	$- 2 x^{2} + 8 x + 10$
	↓	Klammere die $- 2$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$- 2 (x^{2} - 4 x) + 10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $4$ .
	$=$	$- 2 (x^{2} - 4 x + 2^{2} - 2^{2}) + 10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$- 2 [{(x - 2)}^{2} - 4] + 10$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$- 2 {(x - 2)}^{2} + 8 + 10$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform.
	$=$	$- 2 {(x - 2)}^{2} + 18$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$f (x)$	$=$	$3 x^{2} - 4 x + 18$
	↓	Klammere $3$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$3 (x^{2} - \frac{4}{3} x) + 18$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac{𝟒}{𝟑}$ .
	$=$	$3 (x^{2} - \frac{4}{3} x + {(\frac{2}{3})}^{2} - {(\frac{2}{3})}^{2}) + 18$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$3 [{(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}] + 18$
	↓	Löse die eckige Klammer auf.
	$=$	$3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{3} + 18$
	↓	Bringe den Term auf Scheitelform .
	$=$	$3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{50}{3}$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$f (x)$	$=$	$- 5 x^{2} - x - 2$
	↓	Klammere $- 5$ aus.
	$=$	$- 5 (x^{2} + \frac{1}{5} x) - 2$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von $\frac{1}{5}$ .
	$=$	$(- 5) \cdot (x^{2} + \frac{1}{5} x + {(\frac{1}{10})}^{2} - {(\frac{1}{10})}^{2}) - 2$
	↓	Fasse zur 1. binomischen Formel zusammen.
	$=$	$- 5 ({(x + \frac{1}{10})}^{2} - {(\frac{1}{10})}^{2}) - 2$
	↓	Multpliziere die Klammer aus.
	$=$	$- 5 {(x + \frac{1}{10})}^{2} + \frac{5}{100} - 2$
	↓	Berechne die rechte Summe.
	$=$	$- 5 {(x + \frac{1}{10})}^{2} - \frac{39}{20}$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$f (x)$	$=$	$2 x + 0,1 x^{2} - 10$
	↓	Sortiere den Ausdruck nach Hochzahlen.
	$=$	$0,1 x^{2} + 2 x - 10$
	↓	Klammere $0,1$ aus den ersten beiden Summanden aus.
	$=$	$0,1 (x^{2} + 20 x) - 10$
	↓	Ergänze mit dem Quadrat der Hälfte von 20.
	$=$	$0,1 (x^{2} + 20 x + 10^{2} - 10^{2}) - 10$
	↓	Wende die 2. binomische Formel an.
	$=$	$0,1 ({(x + 10)}^{2} - 100) - 10$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$0,1 {(x + 10)}^{2} - 10 - 10$
	↓	Bringe den Term auf die Scheitelform.
	$=$	$0,1 {(x + 10)}^{2} - 20$
	↓	Lies den Scheitelpunkt ab.

$\frac{1}{2} x^{2} + 3 x - 4$	$=$	$0$
	↓	Bestimme mithilfe der Mitternachtsformel die Nullstellen dieser Gleichung.
$x_{1}$	$=$	$\frac{- 3 + \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 0,5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 0,5}$
	↓	Der Scheitelpunkt liegt genau zwischen den beiden Nullstellen: $x_{s} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$ Setzt man diesen $x$ -Wert in die Funktionsgleichung ein, so bekommt man den $y$ -Wert des Scheitelpunktes:
$x_{1}$	$=$	$- 3 + \sqrt{17}$
$x_{2}$	$=$	$\frac{- 3 - \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 0,5 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 0,5}$
$x_{2}$	$=$	$- 3 - \sqrt{17}$

$f (x)$	$=$	$\frac{2}{3} x^{2} + 8 x$
	↓	Klammere $\frac{2}{3}$ aus.
	$=$	$\frac{2}{3} (x^{2} + 12 x)$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\frac{2}{3} (x^{2} + 12 x + 6^{2} - 6^{2})$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\frac{2}{3} ({(x + 6)}^{2} - 36)$
	↓	Multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\frac{2}{3} {(x + 6)}^{2} - 24$
	↓	$f$ ist nun in Scheitelform. Damit kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

$f (x)$	$=$	$\frac{5}{6} x^{2} + x - 1$
	↓	Klammere $\frac{5}{6}$ aus.
	$=$	$\frac{5}{6} (x^{2} + \frac{6}{5} x - \frac{6}{5})$
	↓	Ergänze quadratisch.
	$=$	$\frac{5}{6} \cdot (x^{2} + \frac{6}{5} x + {(\frac{3}{5})}^{2} - {(\frac{3}{5})}^{2} - \frac{6}{5})$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\frac{5}{6} \cdot ({(x + \frac{3}{5})}^{2} - \frac{9}{25} - \frac{30}{25})$
	↓	Fasse die negativen Ausdrücke zusammen und multipliziere die Klammer aus.
	$=$	$\frac{5}{6} (x + \frac{3}{5})^{2} - \frac{5}{6} \cdot \frac{39}{25}$
	↓	Zusammenrechnen und kürzen
	$=$	$\frac{5}{6} (x + \frac{3}{5})^{2} - \frac{13}{10}$
	↓	Nun hast du $f$ in Scheitelform vorliegen und kannst daraus den Scheitelpunkt ablesen.

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