Aufgaben zur Berechnung des Scheitelpunktes

Die Firma Habmichgern soll eine Brücke planen. Die Länge soll $60 m$ betragen.

Der Chef der Firma bittet dich, mithilfe der folgenden Funktionsgleichung die maximale Höhe der Brücke zu berechnen.

$f (x) = - 0,02 \cdot x^{2} + 1,2 \cdot x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertbestimmung durch quadratische Ergänzung

Die Idee hinter den Lösungsmethoden ist, dass der Scheitelpunkt $S$ der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel ist. Dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, lässt sich an dem negativen Koeffizienten $(- 0,02)$ erkennen. Du lernst hier zwei Wege, um an diesen Punkt zu kommen.

1. Lösungsmethode

Scheitelpunkt herausfinden

Der Ansatz dieses Lösungsweges ist es, die Funktion in die Scheitelpunktsform umzuformen.

Die Scheitelpunktsform lautet: $f (x) = a (x - d)^{2} + e$ .

f (x) = - 0,02 x^{2} + 1,2 x

Du kannst zunächst $- 0,02$ ausklammern. Dies ist dein $a$ .

f (x) = - 0,02 \cdot (x^{2} - 60 x)

Du kannst nun den Wert für $d$ bestimmen, indem du die zweite binomische Formel anwendest.

Multipliziere $(x - d)^{2}$ in der Scheitelpunktsform aus.

Du erhältst:

Du kannst dir nun mithilfe von quadratischer Ergänzung den Term zu einer binomischen Formel konstruieren.

Quadratische Ergänzung:

$x^{2} - 60 x$ ist der erste Teil deiner binomischen Formel, also $x^{2} - 2 d x$ . Demnach ist $d = \frac{60}{2} = 30$ .

Jetzt kannst du deine binomische Formel vervollständigen:

Doch damit du den Wert des Funktionsterms nicht verfälschst, musst du $30^{2}$ auch wieder abziehen.

Der vollständige Term lautet:

Setze den Term in den Funktionsterm ein:

f (x) = - 0,02 \cdot ((x - 30)^{2} - 30^{2})

f (x) = - 0,02 \cdot ((x - 30)^{2} - 900)

Multipliziere die Klammer aus.

f (x) = - 0,02 \cdot (x - 30)^{2} + 18

Lösung

Nun hast du die Scheitelpunktform, an dieser kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

Die $y$ -Koordinate ist die Höhe des Brückenbogens, da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist.

Also gilt: $h = 18 m$ .

2. Lösungmethode

Ausnutzen der Achsensymmetrie

Der Brückenbogen $f (x)$ ist an einer Senkrechte $t$ durch den Scheitelpunkt $S (x | y)$ achsensymmetrisch. Das kannst du ausnutzen.

Dafür musst du zuerst die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts herausfinden. Wenn du die hast, kannst du auch die $y$ -Koordiante ausrechnen.

Finde die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts.

Der Scheitelpunkt befindet sich in der Mitte der $60 m$ langen Brücke. Also rechnest du:

x = \frac{60}{2} = 30

x = \frac{60}{2} = 30

$\Rightarrow$ $S (30 | y)$

Setze 30 für $x$ in der Funktion $f (x)$ ein.

f (x) = - 0,02 x^{2} + 1,2 x

f (30) = - 0,02 \cdot 30^{2} + 1,2 \cdot 30

y = f (30) = - 0,02 \cdot 30^{2} + 1,2 \cdot 30

Löse die Funktion nach $y$ auf.

y = - 0,02 \cdot 30^{2} + 1,2 \cdot 30

y = - 18 + 36

y = 18

Nun kannst du $y$ in $S$ einsetzen.

S (30 | y)

\Rightarrow S (30 | 18)

Lösung

S (30 | 18)

Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts $S$ ist die maximale Höhe des Brückenbogens.

Das heißt:

Die Brücke ist an ihrem höchsten Punkt 18 Meter hoch.

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