Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion %%f%% mit der Funktionsgleichung %%f(x)=-2x^2+6x-2,5%% anhand deren Nullstellen.

%%f(x)=−2x^2+6x−2,5%%

Berechne die Nullstellen von %%f%%, z.B. mit der Mitternachtsformel:

$$\begin{align}x&=\frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot(-2) \cdot (-2,5)}}{2 \cdot (-2)}\\&=\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{36 - 20}}{-4}\\&= \frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{16}}{-4}\\&=\frac32 \pm (-1) \in \{\frac12, \frac52\}\end{align}$$

Da %%f%% ein Polynom zweiten Grades ist, hat es höchstens zwei reelle Nullstellen.

Die Nullstellen von %%f%% sind also %%0,5%% und %%2,5%%.

Der %%x%%-Wert des Scheitels %%x_s%% liegt genau in der Mitte dieser beiden Nullstellen. Die Zahl %%1,5%% liegt zwischen %%0,5%% und %%2,5%%.

Also ist %%x_s=1,5%%.

Bestimme nun den %%y%%-Wert des Scheitels, indem du den %%x%%-Wert in die Funktionsgleichung von %%f%% einsetzt.

%%f(x_s)= f(0)=-2 \cdot (1,5)^2+6 \cdot 1,5-2,5=2%%

Der Scheitelpunkt von %%f%% ist demnach %%S=(1,5|2)%%.