Berechnung des Schnittpunkts zweier Geraden

Zwei verschiedene Geraden, die in einer Ebene liegen und nicht parallel sind, haben immer einen Schnittpunkt.

Gegeben sind meist zwei lineare Funktionen f und g mit den allgemeinen Geradengleichungen:

$f (x) = m_{1} \cdot x + t_{1}$ und
$g (x) = m_{2} \cdot x + t_{2}$ .

Und gesucht wird der Schnittpunkt $S (a | b)$ .

Für diesen Schnittpunkt $S (a | b)$ gilt:

f (a) = g (a) = b

Beispiel

Gegeben sind die folgenden linearen Funktionen:

$f (x) = 3 \cdot x + 2$
$g (x) = 2 \cdot x + 5$ .

Berechne den Schnittpunkt.

Setze die Funktionen gleich und bringe $x$ auf eine Seite der Gleichung:

\begin{array}{rcll} f (x) & = & g (x) \\ 3 \cdot x + 2 & = & 2 \cdot x + 5 & | - 2 \\ 3 \cdot x & = & 2 \cdot x + 3 & | - 2 \cdot x \\ x & = & 3 \end{array}

Der Funktionswert von $f$ und $g$ sind also bei $x = 3$ gleich. Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt also bei $S (3 | ?)$ .

Den fehlenden y-Wert kannst du nun berechnen, indem du $x = 3$ in $f (x)$ oder $g (x)$ einsetzt. In welche du $x = 3$ einsetzt, macht keinen Unterschied, da $f (3) = g (3)$ gilt nach der Rechnung oben.

$x = 3$ in $f (x)$ eingesetzt ergibt:

f (3) = 3 \cdot 3 + 2 = 9 + 2 = 11

Der Schnittpunkt liegt also bei $S (3 | 11)$ .

Allgemeine Vorgehensweise

Man setzt die beiden Funktionen gleich und bringt x auf eine Seite der Gleichung.

\begin{array}{rcll} f (x) & = & g (x) \\ m_{1} \cdot x + t_{1} & = & m_{2} \cdot x + t_{2} & | - t_{1} \\ m_{1} \cdot x & = & m_{2} \cdot x + (t_{2} - t_{1}) & | - m_{2} \cdot x \\ m_{1} \cdot x - m_{2} \cdot x & = & t_{2} - t_{1} \\ (m_{1} - m_{2}) \cdot x & = & t_{2} - t_{1} & | : (m_{1} - m_{2}) \\ x & = & \frac{t_{2} - t_{1}}{m_{1} - m_{2}} \end{array}

Der x-Wert des Schnittpunkts liegt also bei $x = \frac{t_{2} - t_{1}}{m_{1} - m_{2}}$ .

Nun noch $x = \frac{t_{2} - t_{1}}{m_{1} - m_{2}}$ in $f (x)$ oder $g (x)$ einsetzen, um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

f (x) = m_{1} \cdot x + t_{1}

\Rightarrow f (\frac{t_{2} - t_{1}}{m_{1} - m_{2}}) = \underset{y-Wert des Schnittpunkts}{\underset{⏟}{m_{1} \cdot \frac{t_{2} - t_{1}}{m_{1} - m_{2}} + t_{1}}}

Der Schnittpunkt der Geraden ist also $S (\frac{t_{2} - t_{1}}{m_{1} - m_{2}} | m_{1} \cdot \frac{t_{2} - t_{1}}{m_{1} - m_{2}} + t_{1})$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?