Zwei verschiedene Geraden, die in einer Ebene liegen und nicht parallel sind, haben immer einen Schnittpunkt.

Gegeben sind meist zwei lineare Funktionen f und g mit den allgemeinen Geradengleichungen %%f(x)=m_1\cdot x+t_1%% und %%g(x)=m_2\cdot x+t_2%% .

Und gesucht wird der Schnittpunkt %%(a\,|\,b)%% für den gilt %%f(a)=g(a)=b%% .

Vorgehensweise

Man setzt die beiden Funktionen gleich.

%%f(x)=g(x)\Rightarrow m_1\cdot x+t_1=m_2\cdot x+t_2%%

x auf eine Seite der Gleichung bringen und ausklammern.

%%m_1\cdot x-m_2\cdot x=t_2-t_1%%

%%\Rightarrow (m_1-m_2)\cdot x=t_2-t_1%%

%%\Rightarrow \displaystyle x=\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}%%

x in eine der beiden Funktionen einsetzen.

%%\displaystyle f(x)=f\left(\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}\right)=m_1\cdot\frac{t_2-t_1}{m_1-m_2}+t_1%%

Beispiel

Gegeben sind die Funktionen %%f(x)=3\cdot x+2%% und %%g(x)=2\cdot x+5%%. Berechne den Schnittpunkt.

Setze die Funktionen gleich und bringe x auf eine Seite der Gleichung.

%%f(x)=g(x)\Rightarrow 3\cdot x+2=2\cdot x+5%%

%%\Rightarrow 3\cdot x-2\cdot x=5-2%%

%%\Rightarrow(3-2)x=5-2%%

%%\Rightarrow\displaystyle x=\frac{5-2}{3-2}=\frac31=3%%

Setze x in eine der beiden Funktionen ein.

%%f(x)=f(3)=3\cdot3+2=11%%

%%\Rightarrow%% Der Schnittpunkt liegt bei %%(3\,|\,11)%%.

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