Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe von Vektoren (Vektoraddition), wobei jeder Vektor noch mit einer reellen Zahl (dem sogenannten Linearfaktor) multipliziert wird. Das Ergebnis davon ist wieder ein Vektor.

%%\overrightarrow u=a\cdot\overrightarrow{v_1}+b\cdot\overrightarrow{v_2}+c\cdot\overrightarrow{v_3}%% mit %%a%%, %%b%% und %%c\in\mathbb{R}%%

Darstellung eines Vektors als Linearkombination von anderen Vektoren

Im obigen Beispiel ist der Vektor %%\overrightarrow u%% eine Linearkombination aus den Vektoren %%\overrightarrow{v_1}%%, %%\overrightarrow{v_2}%% und %%\overrightarrow{v_3}%%.

Beispiel

Der Vektor %%\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}%% soll als Linearkombination der Vektoren %%\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}%%, %%\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}%% und %%\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%% geschrieben werden. Eine Möglichkeit dafür ist %%\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+4\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}%%.

Weitere Beispielaufgaben  
  1. Der Vektor %%\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}%% soll als Linearkombination der Vektoren %%\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}%%, %%\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}%% und %%\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%% dargestellt werden. Dazu muss folgendes lineares Gleichungssystem gelöst werden: $$\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}.$$ In diesem Fall ist %%a=8,\;b=-2%% und %%c=-1%%, also %%\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}=8\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\left(-2\right)\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}+\left(-1\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}%%

  2. Der Vektor %%\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}%% soll als Linearkombination der Vektoren %%\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}%% und %%\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}%% dargestellt werden. Dazu muss folgendes lineares Gleichungssystem gelöst werden: $$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=a\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}+b\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}.$$ Man wird feststellen, dass dies nicht möglich ist. Der Vektor  %%\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}%% ist also keine Linearkombination der Vektoren %%\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}%% und %%\begin{pmatrix}3\\3\\5\end{pmatrix}%%.

Spann

Kann ein Vektor %%\overrightarrow u%% als Linearkombination der Vektoren %%\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}%%   dargestellt werden so liegt %%\overrightarrow u%% im Spann der Menge %%\left\{\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}\right\}=A%% .

Man schreibt:    %%\overrightarrow u\in span(\left\{\overrightarrow{v_1},\;\overrightarrow{v_2},\;\overrightarrow{v_3},\;…,\;\;\overrightarrow{v_n}\right\})%%     oder    %%\overrightarrow u\in span(A)%%

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Zu article Linearkombination: Wofür braucht man Linearkombination?
Sarius_444 2016-05-26 10:48:26
Also ich hab Linearkombination als Thema in der Arbeit, aber wofür brauche ich das? Was mache ich damit und warum?
SebSoGa 2016-05-30 16:59:49
Hallo Sarius_444,

danke für deine sehr berechtigte Frage. Linearkombinationen sind aus verschiedenen Gründen interessant.

Als erstes interessiert uns die Frage, welche Vektoren (in unserem Beispiel u) sich als Linearkombination anderer Vektoren (wir hatten v_1, v_2 und v_3) schreiben lassen. Diese Frage (genauer die Antwort zu dieser Frage) Liefert dir, je nach dem wie viele Vektoren du "kombinierst", die Parameterdarstellung einer Gerade (wenn du nur einen Vektor v_1 benutzt), oder manchmal auch die Parameterdarstellung einer Ebene (wenn du Vektoren v_1 und v_2 kombinierst, und diese linear unabhängig sind).

In der Schule wirst du dich sicherlich bald mit dem Thema "lineare Gleichungssysteme" beschäftigen (oder vielleicht kam das schon).
Hier zunächst den Link zu unserem Artikel dazu: de.serlo.org/1749


Wenn man lineare Gleichungssysteme löst, macht man nichts anderes als die Skalare (= Unbekannte) a,b und c zu suchen, die multipliziert mit vorgegebenen Vektoren v_1, v_2 und v_3 und danach addiert, einen erwünschten Vektor w (die komplette rechte Seite des Gleichungssystems als Spaltenvektor gelesen) ergeben.
In dem Artikel, sowie meistens in der Schule schreibt man statt a,b und c eher x_1, x_2 und x_3 oder auch x, y und z.

Bleiben wir im Beispiel von zwei Vektoren v_1 und v_2. Formuliert in der Sprache der Linearkombinationen lautet die Frage dann: Gibt es Skalare a und b, sodass sich der Vektor w als Linearkombination von v_1 und v_2 mit diesen Skalaren schreiben lässt?

Mit dem Verständnis einer Linearkombination kann man also die Motivation hinter der Suche nach Lösungen von linearen Gleichungssystemen besser verstehen.
Die letzte Frage lässt sich umformen in: Liegt der Vektor w in der Ebene, die von den Vektoren v_1 und v_2 aufgespannt wird?

Ich hoffe diese Antworten helfen dir weiter. Ich schaue, dass diese Informationen auch auf Serlo eingebaut werden.

Vielleicht hilft dir auch der Artikel zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen: de.serlo.org/48767

Liebe Grüße
Sebastian

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Zu article Linearkombination: Klammern in der Definition verwirren
Simon 2014-08-09 16:32:09
Hat jemand eine Idee, wie im ersten Satz die Information in den Klammern [..ner (reellen) Zahl (Linearfaktor)... ] schöner gelöst werden kann? Danke!
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