Geraden können im Raum auf unterschiedliche Art und Weise zu Ebenen liegen. Die verschiedenen Möglichkeiten sind folgende:

Mögliche Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen:

Gerade liegt in Ebene

Jeder Punkt der Gerade liegt in der Ebene, also gibt es unendlich viele Schnittpunkte

legacy geogebra formula

Gerade und Ebene schneiden sich

Es gibt genau einen Schnittpunkt, den die Ebene und die Gerade gemeinsam haben.

legacy geogebra formula

Gerade und Ebene echt parallel

Gerade und Ebene besitzen keine gemeinsamen Punkte, insbesondere auch keinen Schnittpunkt

legacy geogebra formula

Orientierung bestimmen (analytische Geometrie)

Um den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene oder die Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene zu berechnen, benötigst du eine Ebene in Koordinatenform und eine Gerade in Parameterform. Falls die Ebene in Paramenterform gegeben ist, so formst du diese zuerst in Koordinatenform um. Anschließend kannst du wie folgt vorgehen.

Vorgehensweise:

  1. Setze die Gerade in die Koordinatenform der Ebene ein.

  2. Versuche %%\lambda%% zu bestimmen.

Aus dem Ergebnis der Gleichung folgt, welcher der oberen 3 Fälle vorliegt.

Ist das Ergebnis:

  • für alle %%\lambda%% erfüllt,

    z.B. bei  %%1=1%%

so liegt die Gerade in der Ebene, und alle Punkte der Geraden liegen auch in der Ebene

  • für kein %%\lambda%% erfüllt,

    z.B. bei  %%5\;=\;3%%

so sind Gerade und Ebene echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt

  • für genau ein  %%\lambda%%   erfüllt,

    z.B. bei %%\lambda=\;-1%%

so schneiden sich Gerade und Ebene in genau einen Punkt. Dieser Schnittpunkt lässt sich berechnen, in dem man den Wert von %%\lambda%% in die Geradengleichung einsetzt.

Beispiel:

Sei %%g:\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}%% und %%\;\;E:\;x_1+3x_2-2x_3-10\;=0%%

Nun setzt du %%g%% in %%E%% ein und versuchst %%\lambda%% zu bestimmen:

$$\begin{array}{l}\begin{array}{rcl}E:\;(0+\lambda\cdot0)+3(1+\lambda\cdot(-1))-2(0+\lambda\cdot2)-10&=&0\\3-3\lambda-4\lambda-10&=&0\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{array}{rcl}-7\lambda-7&=&0\\\lambda&=&-1\end{array}\end{array}\;$$

Offensichtlich ist die Gleichung für genau ein %%\lambda%% erfüllt. Folglich schneiden sich die Gerade %%g%% und die Ebene %%E%% in genau einem Punkt.
Diesen Schnittpunkt S kannst du nun bestimmen, indem du %%\lambda=-1%% in die Geradengleichung einsetzt:

$$S=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}$$

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Konsti 2018-03-22 13:30:45
Das Thema ist bei mir Auf der Realschule in der 8. Klasse nicht vorgekommen.
Renate 2018-03-31 21:50:47
Hallo Konsti,
du beziehst dich wahrscheinlich darauf, dass dieser Artikel hier im Serlo-Lehrplan für die 8. Klasse der Realschule, Zweig I, eingeordnet war?

Ich habe ihn jetzt da erstmal entfernt - denn so, wie es hier in dem Artikel gemacht wird, wird es in der Realschule wohl wirklich nicht gemacht.

Danke für deinen Hinweis!

Gruß
Renate
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