Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

Geraden können im Raum auf unterschiedliche Art und Weise zu Ebenen liegen. Die verschiedenen Möglichkeiten sind folgende:

Mögliche Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen:

Gerade liegt in Ebene	Jeder Punkt der Gerade liegt in der Ebene, also gibt es unendlich viele Schnittpunkte
Gerade und Ebene schneiden sich	Es gibt genau einen Schnittpunkt, den die Ebene und die Gerade gemeinsam haben.
Gerade und Ebene echt parallel	Gerade und Ebene besitzen keine gemeinsamen Punkte, insbesondere auch keinen Schnittpunkt

Orientierung bestimmen (analytische Geometrie)

Um den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene oder die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene zu berechnen, benötigst du eine Ebene in Koordinatenform und eine Gerade in Parameterform. Falls die Ebene in Parameterform gegeben ist, so formst du diese zuerst in Koordinatenform um. Anschließend kannst du wie folgt vorgehen:

Vorgehen

Setze die rechte Seite der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein.
Versuche $\lambda$ (allg. den Parameter der Geradengleichung) zu bestimmen.

Aus dem Ergebnis der Gleichung folgt, welcher der oberen 3 Fälle vorliegt.

Ist das Ergebnis:

für alle $\lambda$ erfüllt, z.B. bei $1=1$ so liegt die Gerade in der Ebene, und alle Punkte der Geraden liegen auch in der Ebene

für kein $\lambda$ erfüllt, z.B. bei $5\;=\;3$ so sind Gerade und Ebene echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt

für genau ein $\lambda$ erfüllt, z.B. bei $\lambda=\;-1$ so schneiden sich Gerade und Ebene in genau einem Punkt. Dieser Schnittpunkt lässt sich berechnen, indem man den Wert von $\lambda$ in die Geradengleichung einsetzt.

Beispiel:

Sei $g:\overset\rightharpoonup x=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\;\;E:\;x_1+3x_2-2x_3-10\;=0$

Nun setzt du $g$ in $E$ ein und versuchst $\lambda$ zu bestimmen:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}E:\;(0+\lambda\cdot0)+3(1+\lambda\cdot(-1))-2(0+\lambda\cdot2)-10&=&0\\3-3\lambda-4\lambda-10&=&0\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{array}{rcl}-7\lambda-7&=&0\\\lambda&=&-1\end{array}\end{array}\;

Offensichtlich ist die Gleichung für genau ein $\lambda$ erfüllt. Folglich schneiden sich die Gerade $g$ und die Ebene $E$ in genau einem Punkt. Diesen Schnittpunkt S kannst du nun bestimmen, indem du $\lambda=-1$ in die Geradengleichung einsetzt:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\begin{array}{rcl}E:\;(0+\lambda\cdot0)+3(1+\lambda\cdot(-1))-2(0+\lambda\cdot2)-10&=&0\\3-3\lambda-4\lambda-10&=&0\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{array}{rcl}-7\lambda-7&=&0\\\lambda&=&-1\end{array}\end{array}\;

Du hast noch nicht genug vom Thema?

Hier findest du noch weitere passende Inhalte zum Thema:

Artikel

Verschiedene Lagebeziehungen (Inzidenzen)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?