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Reguläre Vielecke

Regelmäßige, oder auch reguläre Vielecke sind Vielecke, deren Seiten alle die Gleiche Länge besitzen und in denen alle Winkel gleich groß sind.

Alle regulären Vielecke, haben einen eindeutigen Inn- und Umkreis mit dem selben Mittelpunkt.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7281_gexMX58iLa.xml

Die regulären n-Ecke für n{xxN,  2x10}n\in\left\{x\vert x\in\mathbb{N},\;2\leq x\leq10\right\}

Beispiele

Reguläres Dreieck

(gleichseitiges Dreieck)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7231_4NupE3FXRO.xml

Innenwinkel 60°

Artikel zum Thema

Reguläres Viereck

(Quadrat)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7233_pAzdi1hFmB.xml

Innenwinkel 90° Artikel zum Thema

Reguläres Fünfeck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7235_QtnOcKRw8z.xml

Innenwinkel 108°

Reguläres Sechseck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7237_2e5NfyDXjg.xml

Innenwinkel 120°

Reguläres Siebeneck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7243_S92fMgbNWI.xml

Innenwinkel 128,57..°

Reguläres Achteck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7265_gfC9BFzXzn.xml

Innenwinkel 135°

Formeln für regelmäßige n-Ecke

Innenwinkel

α=n2n180\displaystyle \alpha=\frac{\mathrm n-2}{\mathrm n}180^\circ

Flächeninhalt

Aregelma¨ßiges  nEck=na24tan(180n)\displaystyle {\mathrm A}_{\mathrm{reg}elmäßiges\;n-\mathrm{Eck}}=\frac{\mathrm{n\cdot a}^2}{4\cdot\tan\left({\displaystyle\frac{180^\circ}{\mathrm n}}\right)}

a ist eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.

Umfang

Uregelma¨ßiges  nEck=na\displaystyle {\mathrm U}_{\mathrm{regelmäßiges}\;\mathrm n-\mathrm{Eck}}=\mathrm n\cdot\mathrm a

a ist eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.

Man erhält die Fläche, indem man das n-Eck in einzelne gleischschenklige Dreiecke zerlegt mit dem Umkreismittelpunkt als Spitze und den einzelnen Seiten als Basen.

Unter allen n-Ecken, die innerhalb eines Kreises liegen, besitzt das reguläre n-Eck den größten Flächeninhalt.

Konstruktion                                      

Artikel zum Thema

Die meisten regulären n-Ecke, lassen sich nicht ohne weiteres konstruieren. Dreieck, Viereck, Sechseck, Achteck, Sechzehneck und Siebzehneck lassen sich nur mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Kreis als n-Eck

Für größere n sieht ein reguläres n-Eck dem Kreis immer ähnlicher. Man kann die Kreiszahl Pi näherungsweise berechnen, indem man den Umfang eines n-Ecks für immer größere n betrachtet. Der Grenzwert dieser Folge ist bei einem Umkreis mit Durchmesser 1 genau Pi.

U=na\mathrm U=\mathrm n\cdot\mathrm a


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