Aufgaben zur Flächenberechnung von Dreiecken im Koordinatensystem

Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ sind:

• $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}8\\ 8\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)$

• $\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}4\\ 11\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 7\end{array}\right)$

Der erste Vektor ist $\overrightarrow{AB}$, da er gegen den Uhrzeigersinn gesehen der erste ist.

Lösung: $A={\displaystyle \frac{1}{2}}(6\cdot 7-4\cdot 2)=17\text{FE}$

$A(1|2),B(2|3),C(3|0)$

Skizziere die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.

$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\left(\begin{array}{c}1-3\\ 2-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\left(\begin{array}{c}2-3\\ 3-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right)$

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( $\mathrm{\alpha }$ ) oder setze um die Determinante einen Betrag.

Wichtig: $\frac{1}{2}$ nicht vergessen!

Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{CA}}& \overrightarrow{\mathrm{CB}}\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{CB}}& \overrightarrow{\mathrm{CA}}\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ 3& 2\end{array}\right|=\frac{1}{2}(-2+6)=2FE$

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den ${ℝ}^3$ ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag $0$ hinzugefügt wird.

Berechne nun das Kreuzprodukt $\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CB}$. Das Ergebnis ist ein zu $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

$A(-1|-1),B(5|1),C(2|4)$

Zeichne die Punkte und das Dreieck in ein Koordinatensystem ein, um einen Überblick zu erhalten. Wähle eine Ecke, von der die Vektoren das Dreieck aufspannen, und berechne diese Vektoren.

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(\begin{array}{c}5-(-1)\\ 1-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)$

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left(\begin{array}{c}2-(-1)\\ 4-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$

1. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Determinante

Bestimme die Reihenfolge der Vektoren in der Determinante gegen den Uhrzeigersinn ( $\mathrm{\alpha }$ ) oder setze um die Determinante einen Betrag.

Wichtig: $\frac{1}{2}$ nicht vergessen!

Berechne die Determinante und erhalte dann das Ergebnis. Flächeneinheit dabei nicht vergessen, wenn gefordert.

${\mathrm{A}}_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{AC}}& \overrightarrow{\mathrm{AB}}\end{array}\right|\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{AB}}& \overrightarrow{\mathrm{AC}}\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}6& 3\\ 2& 5\end{array}\right|=\frac{1}{2}(30-6)=12FE$

2. Lösungsweg: Flächenberechnung mit Kreuzprodukt

Bette die Zeichenebene in den ${ℝ}^3$ ein. Dies geschieht, indem jedem Vektor als dritte Komponente der Eintrag $0$ hinzugefügt wird.

Berechne nun das Kreuzprodukt $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$. Das Ergebnis ist ein zu $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ orthogonaler Vektor, dessen Betrag dem Flächeninhalt des von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ aufgespannten Parallelogramms entspricht. Die Hälfte davon entspricht dem gesuchten Flächeninhalt des Dreiecks ABC.