Für die Berechnung des Flächeninhalts eine beliebigen Dreiecks kennst du vielleicht schon diese Methoden: Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen.

Wenn sich das Dreieck aber im Koordinatensystem befindet, gibt es noch zusätzliche Möglichkeiten:
  • Man kann mit der Determinante arbeiten.
  • (Man kann das Dreieck zum (achsenparallelen) Rechteck ergänzen und damit die Fläche berechnen.)
  • (Man kann das zweidimensionale Dreieck in den R3\mathbb{R}^3 einbetten und mit dem Vektor- oder Kreuzprodukt arbeiten.)

Dreiecksfläche mit der Determinante berechnen

Vorraussetzung: das Dreieck liegt in einem Koordinatensystem und es sind entweder die Koordinaten
  • der drei Eckpunkte (fange bei Schritt 1 an) oder
  • zwei Vektoren gegeben (fange bei Schritt 2 an).
Die Koordinaten der Eckpunkte lauten
A(xAyA);  B(xByB);  C(xCyC).\displaystyle A\left({ x}_A|{ y}_A\right);\; B\left({ x}_B|{ y}_B\right);\; C\left({ x}_C|{ y}_C\right).

Schritt 1: Berechnung von zwei Vektoren aus den Punkten

Nun berechnet man aus den Punktkoordinaten AA, BB und CC die Vektorkoordinaten AB=a\color{#006400}\overrightarrow{AB}=\vec a und AC=b\color{#ff6600}\overrightarrow{AC} = \vec b ("Spitze minus Fuß").
Beachte: der Fußpunkt der Vektoren muss dabei gleich sein, in unserem Beispiel AA!
AB=(xBxAyByA)=(axay)=aAC=(xCxAyCyA)=(bxby)=b\displaystyle \color{#006400}{\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_x\\a_y\end{pmatrix}=\vec a}\\ \color{#ff6600}\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}x_C-x_A\\y_C-y_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_x\\b_y\end{pmatrix}=\vec b
Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/5617_9a5scdWMyT.xml

Schritt 2: Aufstellen der Determinante

Nun setzt du die beiden Vektoren AB\color{#006400}\overrightarrow{AB} und AC\color{#ff6600}\overrightarrow{AC} in die Determinante ein.
AΔABC=12AB×ACFEAΔABC=12xBxAxCxAyByAyCyAFE\displaystyle \begin{array}{ccl} A_{\Delta ABC}&=&{\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{\color{#006400}{AB}}\times\overrightarrow{\color{#ff6600}{AC}}\right|}\text {FE} \\A_{\Delta ABC}&=&\frac12\begin{vmatrix}\color{#006400}{x_B-x_A}&\color{#ff6600}{x_C-x_A}\\\color{#006400}{y_B-y_A}&\color{#ff6600}{y_C-y_A}\end{vmatrix}\text {FE}\end{array}
oder auch
AΔABC=12a×bFEAΔABC=12axbxaybyFE\displaystyle \begin{array}{ccl} A_{\Delta ABC}&=&\frac12\left|{\color{#006400}\vec a}\times{\color{#ff6600}\vec b}\right| \text {FE} \\A_{\Delta ABC}&=&\frac12\begin{vmatrix} {\color{#006400}a_x}& {\color{#ff6600}b_x}\\ {\color{#006400}a_y}& {\color{#ff6600}b_y}\end{vmatrix} \text {FE}\end{array}
Beachte die Reihenfolge der Vektoren: der erste Vektor ist der erste gegen dem Uhrzeigersinn (mathematischer Drehsinn; siehe Skizze)!
Wenn die Koordinaten mit konkreten Werten angegeben sind, dann ist die Reihenfolge nicht wichtig, solange man einen Betrag um die Determinante setzt.
Wichtig ist es aber dann, wenn man einen Flächeninhalt in Abhängigkeit von xx berechnen soll!
Tipp: ohne 12\frac{1}{2} vor der Determinante berechnest du den Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Schritt 3: Berechnung des Werts der Determinante

Nun musst du nur noch den Wert der Determinante, und damit den Flächeninhalt des Dreiecks, nach der Formel
abcd=adbc\displaystyle \begin{vmatrix} a& b\\ c& d\end{vmatrix}={ad}-{bc}
berechnen:
AΔABC=12xBxAxCxAyByAyCyAFEAΔABC=12[(xBxA)(yCyA)(yByA)(xCxA)]FE\displaystyle \begin{array}{ccl}A_{\Delta ABC}&=&\frac12\begin{vmatrix}\color{#006400}{x_B-x_A}&\color{#ff6600}{x_C-x_A}\\\color{#006400}{y_B-y_A}&\color{#ff6600}{y_C-y_A}\end{vmatrix}\text {FE}\\ A_{\Delta ABC}&=&\frac12\left[(\color{#006400}{x_B-x_A )\cdot(\color{#ff6600}{y_C-y_A}})-({\color{#006400}y_B-y_A})\cdot({\color{#ff6600}x_C-x_A})\right]\text {FE}\end{array}

oder auch
AΔABC=12axbxaybyFEAΔABC=12(axbyaybx)FE.\displaystyle \begin{array}{ccl} A_{\Delta ABC}&=&\frac12\begin{vmatrix} {\color{#006400}a_x}& {\color{#ff6600}b_x}\\ {\color{#006400}a_y}& {\color{#ff6600}b_y}\end{vmatrix} \text {FE}\\ A_{\Delta ABC}&=&\frac12\left(\color{#006400}{a_x \cdot\color{#ff6600}{b_y}}-{\color{#006400}a_y}\cdot{\color{#ff6600}b_x}\right)\text {FE.}\end{array}

Video

Dreiecksfläche durch Ergänzen zum Rechteck berechnen

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