Aufgaben
Zeichne zuerst die Punkte A(58)A (5\vert8), C(51)C (5\vert1) und die Gerade b:x=7b: x = 7 in ein Koordinatensystem.
Für jeden Punkt BnB_n auf der Geraden bb kann man das Dreieck ABnCAB_nC zu einem Drachenviereck ABnCDnAB_nCD_n ergänzen. Alle Punkte DnD_n liegen auf einer Geraden. Zeichne diese ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

[AC][AC] ist die Symmetrieachse im Drachenviereck. Das bedeutet, dass die Gerade dd gleich weit von [AC][AC] entfernt sein muss, wie die Gerade bb, damit ein Drachenviereck zustande kommt. AA und CC liegen beide bei x=5x=5 und bb bei x=7x=7. Du spiegelst die Gerade bb an der Gerade AC\overline{AC}und erhältst so die Gerade dd.
d:x=3\displaystyle d:x=3
Nenne zwei Beispiele für die Punkte BB und DD, die auf den jeweiligen Geraden bb und dd liegen, dass das Drachenviereck ABCDABCD entsteht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Die Punkte BB und DD müssen beide gegenüber voneinander liegen und sie dürfen nicht höher oder auf gleicher höhe wie AA und niedriger oder auf gleicher höhe wie CC sein.
Dann kannst du die Punkte egal wo auf der jeweiligen Gerade bb oder dd platzieren. Hier ein paar Beispiele.
D(37)D (3\vert7); B(77)B (7\vert7)
D(36)D (3\vert6); B(76)B (7\vert6)
D(35)D (3\vert5); B(75)B (7\vert5)
D(34)D (3\vert4); B(74)B (7\vert4)
D(33)D (3\vert3); B(73)B (7\vert3)
D(32)D (3\vert2); B(72)B (7\vert2)
Wann ist das Drachenviereck ABCDABCD eine Raute? Versuche BB und DD jetzt so zu verschieben, dass sie mit AA oder mit DD ein Dreieck bilden?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Raute

Das Viereck ABCDABCD ist eine Raute, wenn [BD][BD] auch eine Symmetrieachse von ABCDABCD ist. Das ist der Fall, wenn die Punkte BB, DD an der Halbierenden der Strecke [AC][AC] liegen. Jetzt sind alle Seiten der Raute gleich lang.
D(34,5),B(74,5)\displaystyle D(3\vert4,5), B(7\vert4,5)

Dreieck

Ein Dreieck wird es dann, wenn AA oder CC auf der Strecke [BD][BD] liegt. Das passiert, wenn BB und DD auf gleicher Höhe sind wie AA oder CC.
Was fällt dir im Bezug auf die verschiedenen Drachendreiecke/Raute/Dreiecke am Flächeninhalt auf?
Alle Figuren haben den gleichen Flächeninhalt.
ADreieck=12gh\displaystyle A_{Dreieck}=\frac12\cdot g\cdot h
ARaute=12ef\displaystyle A_{Raute}=\frac12\cdot e\cdot f
ADrachenviereck=12ef\displaystyle A_{Drachenviereck}=\frac12\cdot e\cdot f
Welche der folgenden Vierecke sind Rauten?
Raute
Raute
Drache
Rechteck
Allgemeines Viereck

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute


Vierecke Drachenviereck
Wie berechnet man den Flächeninhalt von einem Drachenviereck?
A=12efA=\frac{1}{2}\cdot e \cdot f
A=2(a+b)A=2\cdot (a + b)
A=efA=e \cdot f
A=abA=a \cdot b

Berechne den Umfang der Raute im Bild auf eine Nachkommastelle genau, wobei %%\text{e}=12\,\text{cm}%% und %%\text{f}=8\,\text{cm}%% lang sind.

Raute

$$U = 4\cdot a$$

Das ist die Formel für den Umfang einer Raute. Da die Seite %%a%% nicht in der Aufgabenstellung gegeben ist, musst du sie erst ausrechnen.

Raute, Diagonale

Eine wichtige Eigenschaft der Raute ist, dass sich sich die beiden Diagonalen %%e%% und %%f%% senkrecht halbieren.

Deshalb kannst du %%a%% mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

$$a^2 = \left(\dfrac{f}{2}\right)^2+\left(\dfrac{e}{2}\right)^2$$

Das ist der Satz des Pythagoras.

Jetzt kannst du für %%f=8\,\text{cm}%% und %%e=12\,\text{cm}%% einsetzen.

$$a^2 = \left(\dfrac{8\,cm}{2}\right)^2+\left(\dfrac{12\,cm}{2}\right)^2$$

$$=(4\,\text{cm})^2 + (6\,\text{cm})^2$$

$$=16\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2 = 52\,\text{cm}^2$$

Nun musst du noch die Wurzel ziehen.

$$a = \sqrt{52\,\text{cm}^2} = 7,211\dots\,\text{cm}$$

Runden auf eine Nachkommastelle ergibt:

$$a \approx 7,2\,\text{cm}$$

Damit ergibt sich für den Umfang:

$$U = 4\cdot a$$

$$= 4 \cdot 7,2\,\text{cm} = 28,8\,\text{cm}$$

Antwort: Der Umfang der Raute beträgt also %%28,8\,\text{cm}%%.

Von einer Raute kennst du die Fläche A=16cm2A = 16\,\text{cm}^2 und die Länge der Diagonalen f=4cmf = 4\,\text{cm}. Wie lang ist die Diagonale ee?
Raute, Fläche

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Raute

A=12efA = \dfrac{1}{2}\cdot e \cdot f
Das ist die Flächenformel einer Raute.
Um ee zu berechnen, musst du die Formel umstellen.
2A=ef\Rightarrow 2\cdot A = e \cdot f
2Af=e\Rightarrow \dfrac{2\cdot A}{f} = e
Jetzt kannst du A=16cm2A = 16 \,\text{cm}^2 und f=4cmf = 4\,\text{cm} einsetzen.
e = 2Af = 216cm24cm = 324cm2cm = 8cme\ =\ \dfrac{2\cdot A}{f}\ =\ \dfrac{2\cdot 16\,\text{cm}^2}{4\,\text{cm}}\ =\ \dfrac{32}{4}\cdot \dfrac{\text{cm}^2}{\text{cm}}\ =\ 8\,\text{cm}
Antwort: Die Diagonale ee hat also die Länge 8cm8\,\text{cm}.
Abbildung eines Drachenvierecks mit Seitenbeschriftung
Berechne die fehlende Größe des Drachenvierecks.
%%\begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline4 \mathrm{cm}& 8\mathrm{cm} & ? \\\end{array}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = 12\frac{1}{2} \cdot e \cdot f
Gegebene Informationen: e = 4 cm\mathrm{cm} f = 8 cm\mathrm{cm} A = ?
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
A = 12\frac{1}{2} \cdot 4 cm\mathrm{cm} \cdot 8 cm\mathrm{cm}
A = 16 cm2\mathrm{cm^2}
%%\begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline2,5 \mathrm{cm}& 3,4\mathrm{cm} & ? \\\end{array}%%
%%\begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline2 \mathrm{dm}& 1,4\mathrm{dm} & ? \\\end{array}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = 12\frac{1}{2} \cdot e \cdot f
Gegebene Informationen: e = 2 cm\mathrm{cm} f = 1,4 cm\mathrm{cm} A = ?
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
A = 12\frac{1}{2} \cdot 2 dm\mathrm{dm} \cdot 1,4 dm\mathrm{dm}
A = 1,4 dm²\mathrm{dm^²}
%%\begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline0,5 \mathrm{cm}& 14\mathrm{mm} & ? \\\end{array}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = 12\frac{1}{2} \cdot e \cdot f
Gegebene Informationen: e = 0,5 cm\mathrm{cm} f = 1,4 cm\mathrm{cm} A = ?
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
A = 12\frac{1}{2} \cdot 0,5 cm\mathrm{cm} \cdot 1,4 cm\mathrm{cm}
A = 0,35 cm²\mathrm{cm^²}
%%\begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline4,2 \mathrm{cm}& ? & 9,45\mathrm{cm} \\\end{array}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = 12\frac{1}{2} \cdot e \cdot f
Gegebene Informationen: e = 4,2 cm\mathrm{cm} f = ? A = 9,45 cmcm
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
9,45 cm²\mathrm{cm^²} = 12\frac{1}{2} \cdot 4,2 cm\mathrm{cm} \cdot f
9,45 cm²\mathrm{cm^²} = 2,1 cm\mathrm{cm} \cdot f | : 2,1 cm\mathrm{cm}
4,5 cm\mathrm{cm} = f
%%\begin{array}{c|c|c|}e & f & A \\\hline? & 7,5 \mathrm{cm}& 3\mathrm{dm} \\\end{array}%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Drachenviereck

Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:
Fläche von Drachenviereck: A = 12\frac{1}{2} \cdot e \cdot f
Gegebene Informationen: e = ? f = 7,5 cm\mathrm{cm} A = 3 dmdm
Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:
3dm23\mathrm{dm^2} = 120,75dme\frac{1}{2}\cdot0,75\mathrm{dm}\cdot e
3dm23\mathrm{dm^2} = 0,375dme0,375\mathrm{dm}\cdot e |:0,375dm:0,375\mathrm{dm}
8dm8\mathrm{dm} = ee
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