Aufgaben

Zeichne zuerst die Punkte %%A (5\vert8)%%, %%C (5\vert1)%% und die Gerade %%b: x = 7%% in ein Koordinatensystem.

Für jeden Punkt %%B_n%% auf der Geraden %%b%% kann man das Dreieck %%AB_nC%% zu einem Drachenviereck %%AB_nCD_n%% ergänzen. Alle Punkte %%D_n%% liegen auf einer Geraden. Zeichne diese ein.

%%[AC]%% ist die Symmetrieachse im Drachenviereck. Das bedeutet, dass die Gerade %%d%% gleich weit von %%[AC]%% entfernt sein muss, wie die Gerade %%b%%, damit ein Drachenviereck zustande kommt. %%A%% und %%C%% liegen beide bei %%x=5%% und %%b%% bei %%x=7%%. Du spiegelst die Gerade %%b%% an der Gerade %%\overline{AC}%%und erhältst so die Gerade %%d%%. $$d:x=3$$

Nenne zwei Beispiele für die Punkte %%B%% und %%D%%, die auf den jeweiligen Geraden %%b%% und %%d%% liegen, dass das Drachenviereck %%ABCD%% entsteht.

Die Punkte %%B%% und %%D%% müssen beide gegenüber voneinander liegen und sie dürfen nicht höher oder auf gleicher höhe wie %%A%% und niedriger oder auf gleicher höhe wie %%C%% sein.

Dann kannst du die Punkte egal wo auf der jeweiligen Gerade %%b%% oder %%d%% platzieren. Rechts und hier ein paar Beispiele.

%%D (3\vert7)%%; %%B (7\vert7)%%

%%D (3\vert6)%%; %%B (7\vert6)%%

%%D (3\vert5)%%; %%B (7\vert5)%%

%%D (3\vert4)%%; %%B (7\vert4)%%

%%D (3\vert3)%%; %%B (7\vert3)%%

%%D (3\vert2)%%; %%B (7\vert2)%%

Wann ist das Drachenviereck %%ABCD%% eine Raute? Versuche %%B%% und %%D%% jetzt so zu verschieben, dass sie mit %%A%% oder mit %%D%% ein Dreieck bilden?

Raute

Das Viereck %%ABCD%% ist eine Raute, wenn %%[BD]%% auch eine Symmetrieachse von %%ABCD%% ist. Das ist der Fall, wenn die Punkte %%B%%, %%D%% an der Halbierenden der Strecke %%[AC]%% liegen. Jetzt sind alle Seiten der Raute gleich lang. $$D(3\vert4,5), B(7\vert4,5)$$

Dreieck

Ein Dreieck wird es dann, wenn %%A%% oder %%C%% auf der Strecke %%[BD]%% liegt. Das passiert, wenn %%B%% und %%D%% auf gleicher Höhe sind wie %%A%% oder %%C%%.

Was fällt dir im Bezug auf die verschiedenen Drachendreiecke/Raute/Dreiecke am Flächeninhalt auf?

Berechne den Umfang der Raute im Bild auf eine Nachkommastelle genau, wobei %%\text{e}=12\,\text{cm}%% und %%\text{f}=8\,\text{cm}%% lang sind.

Raute

$$U = 4\cdot a$$

Das ist die Formel für den Umfang einer Raute. Da die Seite %%a%% nicht in der Aufgabenstellung gegeben ist, musst du sie erst ausrechnen.

Raute, Diagonale

Eine wichtige Eigenschaft der Raute ist, dass sich sich die beiden Diagonalen %%e%% und %%f%% senkrecht halbieren.

Deshalb kannst du %%a%% mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

$$a^2 = \left(\dfrac{f}{2}\right)^2+\left(\dfrac{e}{2}\right)^2$$

Das ist der Satz des Pythagoras.

Jetzt kannst du für %%f=8\,\text{cm}%% und %%e=12\,\text{cm}%% einsetzen.

$$a^2 = \left(\dfrac{8\,cm}{2}\right)^2+\left(\dfrac{12\,cm}{2}\right)^2$$

$$=(4\,\text{cm})^2 + (6\,\text{cm})^2$$

$$=16\,\text{cm}^2 + 36\,\text{cm}^2 = 52\,\text{cm}^2$$

Nun musst du noch die Wurzel ziehen.

$$a = \sqrt{52\,\text{cm}^2} = 7,211\dots\,\text{cm}$$

Runden auf eine Nachkommastelle ergibt:

$$a \approx 7,2\,\text{cm}$$

Damit ergibt sich für den Umfang:

$$U = 4\cdot a$$

$$= 4 \cdot 7,2\,\text{cm} = 28,8\,\text{cm}$$

Antwort: Der Umfang der Raute beträgt also %%28,8\,\text{cm}%%.

Von einer Raute kennst du die Fläche %%A = 16\,\text{cm}^2%% und die Länge der Diagonalen %%f = 4\,\text{cm}%%. Wie lang ist die Diagonale %%e%%?

Raute, Fläche

$$A = \dfrac{1}{2}\cdot e \cdot f$$

Das ist die Flächenformel einer Raute.

Um %%e%% zu berechnen, musst du die Formel umstellen.

$$\Rightarrow 2\cdot A = e \cdot f$$

$$\Rightarrow \dfrac{2\cdot A}{f} = e$$

Jetzt kannst du %%A = 16 \,\text{cm}^2%% und %%f = 4\,\text{cm}%% einsetzen.

$$e = \dfrac{2\cdot A}{f}$$

$$= \dfrac{2\cdot 16\,\text{cm}^2}{4\,\text{cm}}$$

$$=\dfrac{32}{4}\cdot \dfrac{\text{cm}^2}{\text{cm}} = 8\,\text{cm}$$

Antwort: Die Diagonale %%e%% hat also die Länge %%8\,\text{cm}%%.

Berechne die fehlende Größe des Drachenvierecks.

Abbildung eines Drachenvierecks mit Seitenbeschriftung

%%\begin{array}{c|c|c|} e & f & A \\ \hline 4 \mathrm{cm}& 8\mathrm{cm} & ? \\ \end{array} %%

Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:

Fläche von Drachenviereck: A = %%\frac{1}{2}%% %%\cdot%% e %%\cdot%% f

Gegebene Informationen: e = 4 %%\mathrm{cm}%% f = 8 %%\mathrm{cm}%% A = ?

Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:

A = %%\frac{1}{2}%% %%\cdot%% 4 %%\mathrm{cm}%% %%\cdot%% 8 %%\mathrm{cm}%%

A = 16 %%\mathrm{cm^2}%%

%%\begin{array}{c|c|c|} e & f & A \\ \hline 2,5 \mathrm{cm}& 3,4\mathrm{cm} & ? \\ \end{array} %%

Um den Flächeninhalt eines Drachenvierecks auszurechnen setzt du die gegebenen Zahlen in folgende Formel ein:

Fläche von Drachenviereck: A = %%\frac{1}{2}%% ⋅ e ⋅ f

Gegebene Informationen: e = 2,5 %%\mathrm{cm}%% f = 3,4 %%\mathrm{cm}%% A = ?

Setze nun die gegebenen Informationen in die Formel ein:

A = %%\frac{1}{2}%% %%\cdot%% 2,5 %%\mathrm{cm}%% %%\cdot%% 3,4 %%\mathrm{cm}%%

A = 4,25 %%\mathrm{cm^²}%%

%%\begin{array}{c|c|c|} e & f & A \\ \hline 3 \mathrm{cm}& ? & 12\mathrm{cm} \\ \end{array} %%

%%\begin{array}{c|c|c|} e & f & A \\ \hline 4,2 \mathrm{cm}& ? & 9,45\mathrm{cm} \\ \end{array} %%

%%\begin{array}{c|c|c|} e & f & A \\ \hline ?& 8 \mathrm{cm} & 24\mathrm{cm} \\ \end{array} %%

%%\begin{array}{c|c|c|} e & f & A \\ \hline ? & 7,5 \mathrm{cm}& 3\mathrm{dm} \\ \end{array} %%

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