Regelmäßige, oder auch reguläre Vielecke sind Vielecke, deren Seiten alle die Gleiche Länge besitzen und in denen alle Winkel gleich groß sind.

Alle regulären Vielecke, haben einen eindeutigen Inn- und Umkreis mit dem selben Mittelpunkt.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7281_gexMX58iLa.xml

Die regulären n-Ecke für %%n\in\left\{x\vert x\in\mathbb{N},\;2\leq x\leq10\right\}%%

Beispiele

Reguläres Dreieck

(gleichseitiges Dreieck) Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7231_4NupE3FXRO.xml

Innenwinkel 60°
Artikel zum Thema

Reguläres Viereck

(Quadrat)

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7233_pAzdi1hFmB.xml

Innenwinkel 90° Artikel zum Thema

Reguläres Fünfeck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7235_QtnOcKRw8z.xml

Innenwinkel 108°

Reguläres Sechseck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7237_2e5NfyDXjg.xml

Innenwinkel 120°

Reguläres Siebeneck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7243_S92fMgbNWI.xml

Innenwinkel 128,57..°

Reguläres Achteck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7265_gfC9BFzXzn.xml

Innenwinkel 135°

Formeln für regelmäßige n-Ecke

Innenwinkel

$$\alpha=\frac{\mathrm n-2}{\mathrm n}180^\circ$$

Flächeninhalt

$${\mathrm A}_{\mathrm{reg}elmäßiges\;n-\mathrm{Eck}}=\frac{\mathrm{n\cdot a}^2}{4\cdot\tan\left({\displaystyle\frac{180^\circ}{\mathrm n}}\right)}$$

a ist eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.

Umfang

$${\mathrm U}_{\mathrm{regelmäßiges}\;\mathrm n-\mathrm{Eck}}=\mathrm n\cdot\mathrm a$$

a ist eine Seitenlänge des regulären n-Ecks.

Man erhält die Fläche, indem man das n-Eck in einzelne gleischschenklige Dreiecke zerlegt mit dem Umkreismittelpunkt als Spitze und den einzelnen Seiten als Basen.

Unter allen n-Ecken, die innerhalb eines Kreises liegen, besitzt das reguläre n-Eck den größten Flächeninhalt.

Konstruktion                                      

Artikel zum Thema

Die meisten regulären n-Ecke, lassen sich nicht ohne weiteres konstruieren. Dreieck, Viereck, Sechseck, Achteck, Sechzehneck und Siebzehneck lassen sich nur mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Kreis als n-Eck

Für größere n sieht ein reguläres n-Eck dem Kreis immer ähnlicher. Man kann die Kreiszahl Pi näherungsweise berechnen, indem man den Umfang eines n-Ecks für immer größere n betrachtet. Der Grenzwert dieser Folge ist bei einem Umkreis mit Durchmesser 1 genau Pi.

%%\mathrm U=\mathrm n\cdot\mathrm a%%

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