Man kann Strecken relativ leicht mit Hilfe der zentrischen Streckung teilen.

Eine typische Aufgabenstellung wäre zum Beispiel:

Teile die Strecke %%\overline{AB} = 10cm%% im Verhältnis %%3:2%% .

Oder allgemeiner: Teile die Stecke %%\overline{AB}%% im Verhältnis %%a:b%% .

Was bedeutet "Teile im Verhältnis a:b"?

Wenn man eine Strecke %%\overline{AB}%% im Verhältnis %%a:b%% teilen will, dann möchte man einen Punkt T finden für den gilt: %%\frac{\overline{TA}}{\overline{TB}}=\frac ab%%

Achtung: Das bedeutet nicht zwangsläufig, dass %%a=\overline{TA}%% und/oder %%b=\overline{TB}%% gilt. Man betrachtet hier nur ein Verhältnis!

Um eine solche Aufteilung zu erhalten, zerlegt man die Strecke %%\overline{AB}%% in %%a+b%% Teilstücke. Für die Strecken %%\overline{TA}%% und %%\overline{TB}%% folgt dann:

%%\overline{TA}=\frac a{a+b}\cdot\overline{AB}%%, sowie %%\overline{TB}=\frac b{a+b}\cdot\overline{AB}%%

Das bedeutet also in Worten:

Wenn man eine Strecke im Verhältnis %%a:b%% teilen will, versucht man die Strecke in %%a+b%% Teile aufzuteilen. Dann besteht die erste Teilstrecke %%\overline{TA}%% aus %%a%% solchen Teilen und die zweite Teilstrecke %%\overline{TB}%% aus %%b%% solchen Teilen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8159_IuyXLh2STR.xml

Beispiel

Die Strecke %%\overline{AB}=10cm%% soll im Verhältnis %%2:3%% geteilt werden. Wie lang ist dann die Strecke von Punkt A zum Teilpunkt T?

  

Lösung: Gesucht ist die Länge der Strecke %%\overline{TA}%%:

%%\overline{TA}=\frac2{2+3}\cdot10cm=\frac25\cdot10cm=4cm%%

Alternative Herangehensweise:

Man teilt die Strecke %%\overline{AB}%% in 2+3=5 Teile auf, also in 5 Teile à 2 cm. Die Teilstrecke %%\overline{TA}%% besteht dann aus 2 solchen Teilen, ist also 2 mal 2cm lang. Also %%2\cdot2cm=4cm%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8201_doGrWfc9mG.xml

Geometrische Konstruktion einer Streckenteilung

Die Strecke %%\overline{AB}%% soll im Verhältnis %%a:b%% geteilt werden. (Im Applet ist das Verhältnis %%a:b=3:2%%)

  1. Zeichne eine Gerade %%h%% durch %%A%%.

  2. Zeichne einen Kreis um %%A%% mit irgendeinem Radius %%r%%.

  3. Zeichne einen weiteren Kreis mit dem selben Radius, dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt des vorherigen Kreises mit der Geraden %%h%% ist.

  4. Wiederhole dies %%a+b%% mal.

  5. Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt %%B%%.

  6. Zeichne zu der gerade gezeichnteten Gerade eine Parallele durch den %%a%%-ten Schnittpunkt.

  7. Der Schnittpunkt S dieser Parallelen mit %%\overline{AB}%% teilt die Strecke im Verhältnis %%a:b%%.

Im Applet kann man sich die Schritte mit Hilfe des Schiebereglers anzeigen lassen.

Beispielaufgaben  
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