Das Bogenmaß ist ein Winkelmaß. Man kann einen bestimmten Winkel sowohl in Bogenmaß als auch in Gradmaß angeben. Folgende Formel gibt die Beziehung zwischen Grad- und Bogenmaß wieder:

$$\frac{ b}{2\pi}=\frac{\varphi}{360^\circ}$$ wobei %%\varphi%% das Gradmaß ist und %%b%% das Bogenmaß.

Umrechnungsformeln

Stellt man diese Formel nach dem Bogenmaß um, so erhält man $$b=\frac{\varphi}{360^\circ}\cdot2\pi.$$ Damit kann man das Bogenmaß aus dem Gradmaß erhalten. Analog erhält man bei der Umstellung nach dem Gradmaß $$\varphi= \frac{b}{\pi} \cdot 180°.$$

Wichtige Werte

Gradmaß %%\varphi%%

%%0°%%

%%90°%%

%%180°%%

%%360°%%

Bogenmaß %%b%%

%%0%%

%%\frac{\pi}{2}%%

%%\pi%%

%%2\pi%%

Umrechnung

%%b = \frac{0°}{360°} \cdot 2\pi = 0%%

%%b = \frac{90°}{360°} \cdot 2\pi = \frac{1}{2}\pi%%

%%b = \frac{180°}{360°} \cdot 2\pi = \pi%%

%%b = \frac{360°}{360°} \cdot 2\pi = 2\pi%%

Beispiel

Geg: %%\varphi=30^\circ%%

Ges: %%b%%

Betrachte die Umrechnungformel.

$$b=\frac\varphi{360^\circ}\cdot2\pi$$

Setze %%\varphi=30^\circ%% ein.

$$b=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot2\pi=\frac{\mathrm\pi}6$$

Weitere Übungsaufgaben (Hier klicken)

Rechne die folgenden Maße ineinander um:

Hinweis:

  • Gib %%pi%% als pi in das Feld ein, z.B. falls das Ergebnis %%\frac{\pi}{3}%% sein sollte, so gib pi/3 in das Feld ein.
  • Gib das Gradmaß ohne die Einheit '°' ein, z.B. bei 70° gib 70 in das Feld ein.

Weitere Übungsaufgaben findest du hier.

Erklärung der Definition

Das Bogenmaß ordnet jedem Gradmaß  %%\mathrm\varphi%% eine eindeutige Zahl %%b%% zu (mit obiger Umrechnungsformel). Wie ist man auf das Bogenmaß gekommen?

Man kann jeden Winkel  auch durch zwei gleichlange Schenkel aufspannen.

Winkel zwischen zwei gleichlangen Schenkel

Wähle als Länge %%1%%, und betrachte die Bogenlänge %%b%% des Kreissektors.

Schenkel mit Länge 1

Wie berechnet man %%b%%?

Bogenlänge b = %%\frac\varphi{360^\circ}\cdot\underbrace{2r}_{=2,\;da\;r=1}\cdot\mathrm\pi=\frac{\mathrm\varphi}{360^\circ}\cdot2\mathrm\pi%%

Das Bogenmaß eines Winkels %%\alpha%% ist also die Bogenlänge des Kreissektors mit Radius %%1%%, der durch den Winkel %%\alpha%% aufgespannt wird. Man verwendet dafür auch die Pseudoeinheit %%\text{rad}%% ("Pseudo" deswegen, weil es keine physikalische Größe wie z.B. der Meter, das Gewicht oder die Geschwindigkeit ist). Allgemein beschreibt %%1\text{rad}%% den Winkel in einem Kreis mit Radius %%r%%, der einen Kreisbogen der Länge %%r%% einschließt. Demnach hat jeder Vollkreis einen Winkel %%2\pi\;\text{rad}%%. Dies zeigt auch die folgende Animation.

Bogenmaß - Umfang

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Zu article Bogenmaß:
isi237 2017-02-14 11:36:18
Die Lösungen der Aufgaben sind schwierig einzugeben, da ich zum Beispiel nicht weiß wie man an einem Laptop pi eingibt
Nish 2017-02-14 16:12:57
Danke für dein Feedback! Der/Die AutorIn hat beim Einbinden der Teilaufgaben einer größeren Textaufgabengruppe vergessen, die Hinweise hinzuzufügen. Ich habe eben die Hinweise hinzugefügt. Jetzt ist es klar?
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