Welches Volumen hat ein %%4{,}5\, \mathrm{m}%% hohes Haus mit der Breite %%4\, \mathrm{m}%% und der Länge %%7\, \mathrm{m}%%, wenn das Dachgeschoss %%2 \, \mathrm{m}%% hoch ist?

Volumenberechnung

Du kannst das Volumen von diesem Haus auf zwei Arten berechnen:

  • Entweder als ein Prisma mit der ganzen Vorderseite des Hauses als Grundfläche
  • oder als einen zusammengesetzten Körper aus einem Quader (unterer Teil des Hauses) und einem Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche (das Dach).

In dieser Lösung wird das Volumen für den zusammengesetzten Körper berechnet.

Volumen des Quaders (unterer Hausteil)

Gegeben:
Länge des Quaders = %%7\, \mathrm{m}%%
Breite des Quaders = %%4\, \mathrm{m}%%

Die Höhe des Quaders musst du erst noch ausrechnen.

Höhe des Quaders = ?

Die Höhe berechnest du, indem du von der Gesamthöhe des Hauses (%%4{,}5 \, \mathrm{m}%%) die Höhe des Dachs (%%2 \, \mathrm{m}%%) abziehst.

Höhe des Quaders = %%4{,}5 \, \mathrm{m} - 2 \, \mathrm{m} = 2{,}5 \, \mathrm{m}%%

Jetzt kannst du das Volumen des Quaders berechnen.

%%V_\text{Quader} = \text{Länge} \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = 7 \, \mathrm{m} \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2{,}5 \, \mathrm{m} = 70 \, \mathrm{m^3}%%

Volumen des Prismas (Dach)

Gegeben:
Länge des Dachs = %%7 \, \mathrm{m}%%
Breite des Dachs = %%4 \, \mathrm{m}%%
Höhe des Dachs = %%2 \, \mathrm{m}%%

Für das Volumen des Prismas benötigst du zuerst seine Grundfläche. Diese ist hier ein Dreieck. Die Höhe des Dreiecks ist die Dachhöhe und die Grundseite ist die Breite des Dachs.

%%G_\text{Prisma} = \frac12 \cdot \text{Breite} \cdot \text{Höhe} = \frac12 \cdot 4 \, \mathrm{m} \cdot 2 \, \mathrm{m} = 4 \, \mathrm{m^2}%%

Berechne jetzt das Volumen des Prismas. Beachte, dass die Höhe des Prismas hier die Länge des Dachs ist.

%%V_\text{Prisma} = G_\text{Prisma} \cdot \text{Länge} = 4 \, \mathrm{m^2} \cdot 7 \, \mathrm{m} = 28\,\mathrm{m^3}%%

Gesamtvolumen des Hauses

%%V_\text{Haus} = \ldots ?%%

Addiere jetzt die einzelnen Teile, um das Gesamtvolumen zu berechnen.

%%V_\text{Haus} = V_\text{Quader} + V_\text{Prisma} = 70 \, \mathrm{m^3} + 28 \, \mathrm{m^3} = 98 \, \mathrm{m^3}%%

Antwort: Das Haus hat ein Volumen von %%98\, \mathrm{m^3}%%.