Aufgaben

Berechne mit den gegebenen Informationen das Volumen der Kugel.

Umfang 7cm

Umfang %%U=7\,\mathrm{cm}%%

Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.

%%U=2\cdot r\cdot\mathrm\pi%%

%%\left|:2\mathrm\pi\right.%%

%%r=\frac{\mathrm U}{2\cdot\mathrm\pi}%%

Setze den Umfang ein.

%%r=\frac{7\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}%%

%%\approx1,114\,\mathrm{cm}%%

Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf und setze den gefundenen Radius %%r%% ein.

%%V=\frac43\cdot\left(\frac{7\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}\right)^3\cdot\mathrm\pi%%

%%=\frac{7^3}{6\cdot\pi^2}\,\mathrm{cm^3}%%

%%\approx5,792\,\mathrm{cm^3}%%

Oberfläche %%10\mathrm{cm}^2%%

Oberfläche %%O=10\mathrm{cm}^2%%

Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf.

%%O=4r^2\mathrm\pi%%

%%\left|:4\mathrm\pi\right.%%

%%r^2=\frac{\mathrm O}{4\mathrm\pi}%%

%%r=\sqrt{\frac{\mathrm O}{4\mathrm\pi}}%%

Setze die Oberfläche ein.

%%r=\sqrt{\frac{10\mathrm{cm}^2}{4\mathrm\pi}}%%

%%\approx0,8921\,\mathrm{cm}%%

Stelle nun die Formel für das Volumen einer Kugel auf und setze den gefundenen Radius %%r%% ein.

%%V=\frac43\cdot\left(\sqrt{\frac{5\mathrm{cm}^2}{2\mathrm\pi}}\right)^3\cdot\mathrm\pi%%

%%=\frac{5{\sqrt{\frac{10}\pi}}}3\mathrm{cm^3}%%

%%\approx2,974\mathrm{cm^3}%%

Der Durchmesser einer Murmel ist %%42 \text{ mm}%%. Wie groß ist ihr Volumen?

Murmel

%%V=\dfrac{4}{3}r^3\pi%%

Das ist die Volumenformel der Kugel.

Den Radius %%r%% kannst du aus dem Durchmesser berechnen.

%%r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{42}{2}\text{ mm}= 21 \text{ mm}%%

Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.

%%V=\dfrac{4}{3}\cdot(21\text{ mm})^3\cdot\pi%%

Wenn du das ausrechnest, erhältst du:

%%=\dfrac{4}{3}\cdot9261\cdot\pi \text{ mm}^3%%

%%=12348\cdot\pi\cdot\text{ mm}^3%%

%%=38792,386…\text{ mm}^3%%

Zum Schluss rundest du noch.

%%\approx 38792 \text{ mm}^3%%

Du kannst das Ergebnis auch in Kubikzentimeter (%%\text{cm}^3%%) schreiben.

%%=38,792 \text{ cm}^3%%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung bei der Kugel

Der Ball ist eine Kugel mit Durchmesser d=50cmd=50\,\text{cm}. Gesucht ist die Menge an Luft, die Sandra hineinbläst, also das Volumen der Kugel.
VV==43r3π\frac{4}{3}r^3\pi
Das ist die Volumenformel der Kugel.
Den Radius rr kannst du aus dem Durchmesser dd berechnen.
rr==d2\frac{d}{2}
Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.
rr==502cm\frac{50}{2}cm
rr==25cm25cm
Wert in Formel von oben einsetzen
VV==43(25cm)3π\frac{4}{3}\cdot\left(25cm\right)^3\cdot\pi
ausrechnen
==4315625 cm3π\frac{4}{3}\cdot15625\ cm^3\cdot\pi
==625003π cm3\frac{62500}{3}\cdot\pi\ cm^3
==65449,846....cm365449,846....cm^3
Anschließend rundest du noch.
65450 cm365450\ cm^3
Zum Schluss rechnest du das Ergebnis in Kubikdezimenter (und damit in Liter) um.
==65,45 dm365,45\ dm^3
==65,45 l65,45\ l
Antwort: Sandra muss 65,45l65,45\,\text{l} Luft in den Ball blasen.
Ein Golfball besitzt einen Radius von 2,15 cm. Berechne das Volumen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel

Ein Golfball ist eine Kugel, deshalb kannst du die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel verwenden.
VKugel=43πr3\displaystyle V_{\text{Kugel}} = \dfrac{4}{3}\pi \cdot r^3
Nun brauchst du nur noch die Werte einzusetzen:
VKugel=43πr3VKugel=43π(2,15cm)341,6cm3\begin{array}{rcl} V_{\text{Kugel}} &=& \dfrac{4}{3}\pi \cdot r^3 \\\\ V_{\text{Kugel}} &=& \dfrac{4}{3}\pi \cdot (2,15 \,\text{cm})^3 \approx 41,6 \,\text{cm}^3 \end{array}
Das bedeutet, dass das Volumen des Golfballs 41,6cm341,6 \,\text{cm}^3 beträgt.
Kommentieren Kommentare