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Aufgaben zum Volumen einer Kugel

1 Aufgabengruppe

Berechne mit den gegebenen Informationen das Volumen der Kugel.

Radius 1cm

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Volumen einer Kugel berechnen

Für das Volumen einer Kugel gilt:

V=43r3π\displaystyle V=\frac43r^3\pi

Setze den Radius r=1cmr=1\,cm ein.

V=43(1cm)3π\displaystyle V=\frac43(1\mathrm{cm})^3\pi
V=43πcm34,2cm3\displaystyle V=\frac43\mathrm{πcm}^3\approx4,2\mathrm{cm}^3

Radius 5cm

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Volumen der Kugel bestimmen

r=5cm\displaystyle r=5\mathrm{cm}

Setze rr in die Formel des Kugelvolumens ein.

V=43(5cm)3π523,59cm3\displaystyle V=\frac43\cdot(5\mathrm{cm})^3\cdot\pi\approx523,59\mathrm{cm}^3

Durchmesser 3cm

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Volumen einer Kugel

d=3cm\displaystyle d=3cm

Errechne den Radius rr.

r=12d=123cm=1,5cm\displaystyle r=\frac12\cdot d=\frac12\cdot3cm=1,5cm

Setze den Radius in die Formel für das Kugelvolumen ein.

VKugel=43r3π=43(1,5cm)3π\displaystyle V_{Kugel}=\frac43\cdot r^3\cdot\mathrm\pi=\frac43\cdot(1,5\mathrm{cm})^3\cdot\mathrm\pi\approx
14,14cm3\displaystyle \approx14,14cm^3

Umfang 7cm

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Volumen einer Kugel berechnen

Umfang U=7cmU=7\,\mathrm{cm}

Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.

U=2rπ\displaystyle U=2\cdot r\cdot\mathrm\pi
:2π\displaystyle \left|:2\mathrm\pi\right.
r=U2π\displaystyle r=\frac{\mathrm U}{2\cdot\mathrm\pi}

Setze den Umfang ein.

r=7cm2π\displaystyle r=\frac{7\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}
1,114cm\displaystyle \approx1,114\,\mathrm{cm}

Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf und setze den gefundenen Radius rr ein.

V=43(7cm2π)3π\displaystyle V=\frac43\cdot\left(\frac{7\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}\right)^3\cdot\mathrm\pi

=736π2cm3\displaystyle =\frac{7^3}{6\cdot\pi^2}\,\mathrm{cm^3}
5,792cm3\displaystyle \approx5,792\,\mathrm{cm^3}

Oberfläche 10cm210\mathrm{cm}^2

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Volumen einer Kugel berechnen

Oberfläche O=10cm2O=10\mathrm{cm}^2

Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf.

O=4r2π\displaystyle O=4r^2\mathrm\pi
:4π\displaystyle \left|:4\mathrm\pi\right.
r2=O4π\displaystyle r^2=\frac{\mathrm O}{4\mathrm\pi}
r=O4π\displaystyle r=\sqrt{\frac{\mathrm O}{4\mathrm\pi}}

Setze die Oberfläche ein.

r=10cm24π\displaystyle r=\sqrt{\frac{10\mathrm{cm}^2}{4\mathrm\pi}}
0,8921cm\displaystyle \approx0,8921\,\mathrm{cm}

Stelle nun die Formel für das Volumen einer Kugel auf und setze den gefundenen Radius rr ein.

V=43(5cm22π)3π\displaystyle V=\frac43\cdot\left(\sqrt{\frac{5\mathrm{cm}^2}{2\mathrm\pi}}\right)^3\cdot\mathrm\pi
=510π3cm3\displaystyle =\frac{5{\sqrt{\frac{10}\pi}}}3\mathrm{cm^3}
2,974cm3\displaystyle \approx2,974\mathrm{cm^3}
2

Der Durchmesser einer Murmel ist 42 mm42 \text{ mm}. Wie groß ist ihr Volumen?

Murmel
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Kugel

V=43r3π\displaystyle V=\dfrac{4}{3}r^3\pi

Das ist die Volumenformel der Kugel.

Den Radius rr kannst du aus dem Durchmesser berechnen.

r=d2=422 mm=21 mm\displaystyle r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{42}{2}\text{ mm}= 21 \text{ mm}

Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.

V=43(21 mm)3π\displaystyle V=\dfrac{4}{3}\cdot(21\text{ mm})^3\cdot\pi

Wenn du das ausrechnest, erhältst du:

=439261π mm3\displaystyle =\dfrac{4}{3}\cdot9261\cdot\pi \text{ mm}^3

=12348π mm3\displaystyle =12348\cdot\pi\cdot\text{ mm}^3

=38792,386 mm3\displaystyle =38792,386…\text{ mm}^3

Zum Schluss rundest du noch.

38792 mm3\displaystyle \approx 38792 \text{ mm}^3

Du kannst das Ergebnis auch in Kubikzentimeter (cm3\text{cm}^3) schreiben.

=38,792 cm3\displaystyle =38,792 \text{ cm}^3

3

Sandra ist mit ihren Freundinnen am Strand, und sie möchten mit dem Wasserball spielen.

Wie viel Liter Luft muss Sandra in den Ball blasen, damit er einen Durchmesser von 50cm50\,\text{cm} hat?

Wasserball
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Kugel

Thema dieser Aufgabe ist die Volumenberechnung bei einer Kugel.

Der Ball ist eine Kugel mit Durchmesser d=50cmd=50\,\text{cm}. Gesucht ist die Menge an Luft, die Sandra hineinbläst, also das Volumen der Kugel.

V=43r3π\displaystyle V=\dfrac{4}{3}r^3\pi

Das ist die Volumenformel der Kugel.

Den Radius rr kannst du aus dem Durchmesser dd berechnen.

r=d2=502cm=25cm\displaystyle r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{50}{2}\,\text{cm}=25\,\text{cm}

Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.

V=43(25cm)3π\displaystyle V=\dfrac{4}{3}\cdot(25\,\text{cm})^3\cdot\pi

Wenn du das ausrechnest, erhältst du:

=4315625cm3π\displaystyle =\dfrac{4}{3}\cdot15625\,\text{cm}^3\cdot\pi

=625003π cm3\displaystyle =\dfrac{62500}{3}\cdot\pi\text{ cm}^3

=65449,846 cm3\displaystyle = 65449,846…\text{ cm}^3

Anschließend rundest du noch.

65450 cm3\displaystyle \approx 65450\text{ cm}^3

Zum Schluss rechnest du das Ergebnis in Kubikdezimenter (und damit in Liter) um.

=65,45 dm3\displaystyle =65,45 \text{ dm}^3

=65,45 l\displaystyle =65,45 \text{ l}

Antwort: Sandra muss 65,45l65,45\,\text{l} Luft in den Ball blasen.