Aufgaben
Der Durchmesser des Mülleimers ist 30 cm und die Höhe ist 60 cm (ohne den Deckel). Wie groß ist das Volumen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

V=r2πhV=r^2\cdot\mathrm{\pi}\cdot\mathrm{h}
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinder. Die Höhe 8 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser. Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
V=(3,5  cm)2  π    8  cmV=(3,5\;\mathrm{cm})^2\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;8\;\mathrm{cm}
      =  98π  cm3\;\;\;=\;98\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^3
      =  307,608  cm3\;\;\;=\;307,608…\;\mathrm{cm}^3
            308  cm3\;\;\;\;\;\approx\;308\;\mathrm{cm}^3
In ein Glas mit dem Innendurchmesser 8 cm werden 150 ml Wasser eingegossen. Wie hoch steht das Wasser im Glas?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Tipp: Was ist ein "Innendurchmesser"?

Der "Innendurchmesser" ist der Durchmesser, den das Glas "innen" hat - also ohne die Glaswand dazu.
(Wenn man das Glas dagegen mit der Glaswand dazu misst, erhält man als Durchmesser den "Außendurchmesser"; denn man misst ja in diesem Fall nicht innen im Glas, sondern außen.)
Beispiel: Wenn das Glas 2mm dick ist und innen 8cm Durchmesser hat, dann hat es außen gemessen 8,4cm Durchmesser, weil an beiden Seiten noch 2mm für die Glaswand hinzukommen. In diesem Fall wäre also
  • der Innendurchmesser 8 cm, und
  • der Außendurchmesser 8,4 cm.

Zylinder

Gegeben:
Zylinder mit
  • Durchmesser d=8cmd=8 \mathrm{cm}
  • Volumen V=150mlV=150 \mathrm{ml}
(gemeint ist der Zylinder aus Wasser, nicht der aus Glas!)
Gesucht:
Höhe hh

Lösungsidee

Die Höhe hh kommt in der Formel V=r2πhV=r^2\cdot \pi \cdot h für das Volumen eines Zylinders vor.
Diese Formel kannst du nach hh umstellen und zum Berechnen der Höhe verwenden.

Lösung

Formel umstellen
VV==r2πhr^2\cdot\pi\cdot h|:(r2π):(r^2\cdot\pi)
Auf diese Weise erreichst du, dass hh auf der rechten Seite alleine übrig bleibt.
Vr2π\frac{V}{r^2\cdot\pi}==hh
Wenn es dich stört, dass hh jetzt rechts und nicht links steht, kannst du die Gleichung natürlich auch anders herum hinschreiben
hh==Vr2π\frac{V}{r^2\cdot\pi}
Werte einsetzen
hh==150ml(4cm)23,14\frac{150ml}{(4cm)^2\cdot3,14}
Hier muss man nun auf die Einheiten achten. mlml können nicht durch cm2cm^2 geteilt werden. 150ml=0,15l=0,15dm3=150cm3150ml = 0,15l = 0,15dm^3 = 150cm^3. Wichtig ist auch, dass nach dem Radius gefragt wird, das bedeutet, dass der Durchmesser von 8cm noch geteilt werden muss.
hh==150cm3(4cm)23,14\frac{150cm^3}{(4cm)^2\cdot3,14}
Rechne das Ergebnis aus
hh==2,98cm2,98 cm
Runde
hh3cm3cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Die Idee der Aufgabe ist es, das Volumen des komplizierten Weißbierglases mittels zweier Zylinder nach oben und nach unten abzuschätzen. Dadurch erhältst du eine erste Näherung an das wahre Volumen.

Abschätzung nach oben


Ein Zylinder mit der Höhe hh und dem Durchmesser d1d1 hat ein größeres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
VWeißbierglasVZylinder mit Durchmesser d1\displaystyle V_{\text{Weißbierglas}}\le V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}_{ }}

Abschätzung nach unten

Ein Zylinder mit der Höhe hh und dem Durchmesser d2d2 hat ein kleineres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
VWeißbierglasVZylinder mit Durchmesser d2\displaystyle V_{\text{Weißbierglas}} \geq V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}}

Berechnung der Zylindervolumen

Nun musst du nur noch die Volumen der beiden Zylinder bestimmen. Dafür verwendest du jeweils die Zylinderformel V=r2πhV = r^2\cdot\pi\cdot h und die Beziehung d=r2d = \frac{r}2:
VZylinder mit Durchmesser d1=(d12)2πh=(7,52)2π15  cm3663  cm3=0.663  l\displaystyle V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}} = (\frac{d1}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{7,5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3}\approx 663 \;\mathrm{cm^3} = 0.663 \;\mathrm{l}
VZylinder mit Durchmesser d2=(d22)2πh=(4,52)2π15  cm3239  cm3=0.239  l\displaystyle V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}} = (\frac{d2}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{4,5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3} \approx 239 \;\mathrm{cm^3} = 0.239\;\mathrm{l}

Volumen Weißbierglas

Für das Volumen des Weißbierglases bis zur Eichmarkierung gilt also:
0.239  lVWeißbierglas0.663  l\displaystyle 0.239 \;\mathrm{l} \leq V_{\text{Weißbierglas}} \leq 0.663 \;\mathrm{l}
Eine Toilettenpapierrolle besteht aus dem Toilettenpapier und einer zylinderförmigen Rolle aus Karton.
Das Toilettenpapier hat eine Breite von 10 cm10\textsf{ cm}.
Der Durchmesser der zylinderförmigen Rolle sind 4 cm4\textsf{ cm}.
Der Gesamtdurchmesser der Toilettenpapierrolle beträgt 12 cm12\textsf{ cm}.
Berechne das Volumen des Toilettenpapiers.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumenberechnung Zylinder

Zuerst solltest du beide Zylinder (gesamte Toilettenpapierrolle und Rolle aus Karton) berechnen.
Dann kannst du das Volumen des Kartons von dem der Toilettenpapierrolle abziehen und erhältst das Volumen des Toilettenpapiers.
Das Volumen im Inneren (mit dem Durchmesser des Kartons) lässt sich mit der Volumenformel für Zylinder berechen.
Vinnen=r2πhV_{\textsf{innen}}=r^2 \pi h
Dabei ist r=4 cm2=2 cmr=\dfrac{4\textsf{ cm}}{2}=2\textsf{ cm}
und h=10 cmh=10\textsf{ cm}.
Vinnen=(2 cm)2π10 cm=4 cm2π10 cm=40 cm3π40 cm33,14=125,6 cm3\begin{array}{rcl} V_{\textsf{innen}}&=&(2\textsf{ cm})^2 \cdot\pi\cdot 10\textsf{ cm} \\&=&4\textsf{ cm}^2\cdot\pi\cdot10\textsf{ cm} \\&=&40\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&\approx&40\textsf{ cm}^3\cdot 3,14 \\&=&125{,}6\textsf{ cm}^3 \end{array}
Das Volumen der gesamten Toilettenpapierrolle lässt sich ebenfalls mit der Volumenformel für Zylinder berechnen.
Vgesamt=r2πhV_{\textsf{gesamt}}=r^2 \pi h
Dabei ist r=12 cm2=6 cmr=\dfrac{12\textsf{ cm}}{2}=6\textsf{ cm}
und h=10 cmh = 10\textsf{ cm}.
Vgesamt=(6 cm)2π10 cm=36 cm2π10 cm=360 cm3π360 cm33,14=1130,4 cm3\begin{array}{rcl} V_{\textsf{gesamt}}&=&(6\textsf{ cm})^2 \cdot\pi\cdot 10 \textsf{ cm} \\&=&36\textsf{ cm}^2\cdot\pi\cdot10\textsf{ cm} \\&=&360\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&\approx&360\textsf{ cm}^3\cdot 3,14 \\&=&1130{,}4\textsf{ cm}^3 \end{array}
Mit diesen zwei Volumina kann man nun das Volumen des Toilettenpapiers berechnen.
VPapier=VgesamtVinnen=360 cm3π40 cm3π=320 cm3π320 cm33,14=1004,8 cm3 \begin{array}{rcl} V_{\textsf{Papier}}&=&V_{\textsf{gesamt}}-V_{\textsf{innen}} \\&=&360\textsf{ cm}^3\cdot\pi-40\textsf{ cm}^3\cdot\pi \\&=&320\textsf{ cm}^3 \cdot \pi \\&\approx&320\textsf{ cm}^3\cdot 3,14 \\&=&1004{,}8\textsf{ cm}^3 \end{array}
Das Volumen des Toilettenpapiers beträgt 1004,8 cm31004{,}8\textsf{ cm}^3.
Ein Goldschmied möchte einen Ring designen.
Der Innendurchmesser des Rings soll 1,8 cm1{,}8\text{ cm} betragen, der Außendurchmesser 2,2 cm2{,}2\text{ cm}.
Der Ring soll außerdem 0,8 cm0{,}8 \text{ cm} breit sein.
Der Goldschmied möchte den Ring mit Silber herstellen. Silber hat eine Dichte von 10,5 g10{,}5\text{ g} pro Kubikzentimeter.
Berechne zuerst das Volumen des Rings in Kubikzentimeter und runde auf zwei Nachkommastellen.
Bestimme, wie viel Gramm Silber der Goldschmied benötigt, um den Ring zu schmieden.
Kommentieren Kommentare

malte5101 2017-02-28 08:03:23+0100
Die Aufgaben sind super Klasse aber manche Fachbegriffe sollten besser erklärt werden aber sonst feier ich sdiese Seite ohne End
Renate 2017-02-28 10:18:14+0100
Danke für dieses positive Feedback! :) :)
Renate 2017-02-28 10:23:06+0100
Welche Fachbegriffe meinst du denn konkret? Vielleicht könntest du es zu den jeweiligen Aufgaben als Kommentar dazu schreiben - oder hier einfach gesammelt als Antwort in dieser Diskussion.

Ich freu mich jedenfalls darauf, wenn wir gemeinsam Serlo NOCH besser machen können!
Gruß
Renate
Antwort abschicken