Aufgaben
Der Durchmesser des Mülleimers ist 30 cm und die Höhe ist 60 cm (ohne den Deckel). Wie groß ist das Volumen?

Zylinder

V=r2πhV=r^2 \cdot \pi \cdot h
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinders.
Die Höhe 60 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser.
r=d:2=30cm:2=15cmr= d:2= 30\, \text{cm} :2 = 15\, \text{cm}
Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
V=(15cm)2π60cmV=(15\, \text{cm})^2 \cdot \pi \cdot 60\,\text{cm}
Das rechnest du aus,
=13500π cm3=13\, 500 \cdot \pi\ \text{cm}^3
=42411,5008.cm3= 42\,411,5008….\, \text{cm}^3
und rundest das Ergebnis.
42412cm3\approx 42\,412\, \text{cm}^3


Ein zylindrisches Ausdehnungsgefäß hat d=35cm Durchmesser und h=450mm Höhe.

Wie viel Liter fasst das Gefäß?

Gegeben:

Zylinder mit

  • Durchmesser %%d=35 \, \text{cm}%%
  • Höhe %%h=450\, \text{mm}%%

Gesucht:

Volumen %%V%% in Litern (l)

Lösung:

Lösungidee:

%%V=?%%

Da es sich bei dem Gefäß um einen Zylinder handelt, brauchst du die Formel für das Volumen eines Zylinders:

%%V_{Zylinder}=G\cdot h=\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\cdot\mathrm h%%

%%V_{Zylinder}=\mathrm\pi\cdot\mathrm r^2\cdot\mathrm h%%

Die Höhe %%h%% ist gegeben,
und den Radius %%r%% kannst du aus dem Durchmesser %%d%% berechnen.

Allerdings sollten, wenn du in die Formel einsetzt, %%h%% und %%r%% die gleiche Einheit haben.

Tipp:
Wenn du %%h%% und %%r%% (oder %%d%%) schon jetzt beide in %%\text{dm}%% umwandelst, kommt das Volumen in %%\text{dm}^3%% (= in Litern l) heraus.
Andernfalls musst du eben nachher die Volumeneinheit noch umrechnen.

Umrechnen, Einsetzen der Zahlen und Ausrechnen:

%%h=450\, \text{mm}=4,5\, \text{dm}%%

%%d=35 \, \text{cm}= 3,5\,\text{dm}%%

Aus dem Durchmesser %%d%% berechnest du dann den Radius %%r%%,

%%r=\dfrac d2=1,75dm%%

… und setzt %%r%% und %%h%% in die Volumenformel ein:

%%V=\mathrm\pi\cdot\left(1,75\mathrm{dm}\right)^2\cdot4,5\mathrm{dm}%%

Das rechnest du aus und rundest das Ergebnis.

%%V\approx 43,3\, \text{dm}^3%%

%%\text{dm}^3%% sind dasselbe wie Liter.

Wenn du mit anderen Einheiten gerechnet hast (was natürlich auch möglich ist), musst du dein Ergebnis jetzt noch umrechnen .

%%V\approx43,3\;l%%

Dieses Glas hat einen Durchmesser von 7 cm und seine Höhe ist 8 cm. Wie groß ist sein Volumen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

V=r2πhV=r^2\cdot\mathrm{\pi}\cdot\mathrm{h}
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinder.Die Höhe 8 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser. Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
V=(3,5  cm)2  π    8  cmV=(3,5\;\mathrm{cm})^2\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;8\;\mathrm{cm}
Das rechnest du aus.
      =  98π  cm3\;\;\;=\;98\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^3
      =  307,608  cm3\;\;\;=\;307,608…\;\mathrm{cm}^3
Und rundest das Ergebnis.
            308  cm3\;\;\;\;\;\approx\;308\;\mathrm{cm}^3
In ein Glas mit dem Innendurchmesser 8 cm werden 150 ml Wasser eingegossen. Wie hoch steht das Wasser im Glas?


Tipp: Was ist ein "Innendurchmesser"?

Der "Innendurchmesser" ist der Durchmesser, den das Glas "innen" hat - also ohne die Glaswand dazu.
(Wenn man das Glas dagegen mit der Glaswand dazu misst, erhält man als Durchmesser den "Außendurchmesser"; denn man misst ja in diesem Fall nicht innen im Glas, sondern außen.)
Beispiel: Wenn das Glas 2mm dick ist und innen 8cm Durchmesser hat, dann hat es außen gemessen 8,4cm Durchmesser, weil an beiden Seiten noch 2mm für die Glaswand hinzukommen. In diesem Fall wäre also
  • der Innendurchmesser 8 cm, und
  • der Außendurchmesser 8,4 cm.

Zylinder

Gegeben:
Zylinder mit
  • Durchmesser d=8cmd=8 \mathrm{cm}
  • Volumen V=150mlV=150 \mathrm{ml}
(gemeint ist der Zylinder aus Wasser, nicht der aus Glas!)
Gesucht:
Höhe hh

Lösungsidee

Die Höhe hh kommt in der Formel V=r2πhV=r^2\cdot \pi \cdot h für das Volumen eines Zylinders vor.
Diese Formel kannst du nach hh umstellen und zum Berechnen der Höhe verwenden.

Lösung

Formel umstellen
V=r2πhV=r^2\cdot \pi \cdot h
:(r2π)|: (r^2\cdot \pi)
Auf diese Weise erreichst du, dass hh auf der rechten Seite alleine übrig bleibt.
Vr2π=h\dfrac{V}{r^2\cdot \pi}= h

Wenn es dich stört, dass hh jetzt rechts und nicht links steht, kannst du die Gleichung natürlich auch anders herum hinschreiben:
h=Vr2π\Rightarrow h=\dfrac{V}{r^2\cdot \pi}
Zahlen einsetzen
h=Vr2πh=\dfrac{V}{r^2\cdot \pi}
In diese Formel setzt du nun die Werte ein:
V=150mlV=150 \mathrm{ml} ist gegeben,
der Radius rr ist die Hälfte vom Durchmesser dd, d=8cmd=8 \mathrm{cm} ist ebenfalls gegeben,
und die Kreiszahl π\pi ist ohnehin immer konstant.
in Arbeit
Ein Weißbierglas hat bis zur Eichmarkierung eine Füllhöhe von h=15  cmh = 15 \;\text{cm}. Außerdem hat es den maximalen Durchmesser d1=7,5  cmd1 = 7,5 \; \text{cm} und den minimalen Durchmesser d2=4,5  cmd2 = 4,5 \; \text{cm}.

Schätze mit diesen Zahlen das wahre Volumen des Gefäßinhaltes nach oben und nach unten ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Die Idee der Aufgabe ist es, das Volumen des komplizierten Weißbierglases mittels zweier Zylinder nach oben und nach unten abzuschätzen. Dadurch erhältst du eine erste Näherung an das wahre Volumen.

Abschätzung nach oben


Ein Zylinder mit der Höhe hh und dem Durchmesser d1d1 hat ein größeres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
VWeißbierglasVZylinder mit Durchmesser d1\displaystyle V_{\text{Weißbierglas}}\le V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}_{ }}

Abschätzung nach unten

Ein Zylinder mit der Höhe hh und dem Durchmesser d2d2 hat ein kleineres Volumen als das Weißbierglas. Es gilt also:
VWeißbierglasVZylinder mit Durchmesser d2\displaystyle V_{\text{Weißbierglas}} \geq V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}}

Berechnung der Zylindervolumen

Nun musst du nur noch die Volumen der beiden Zylinder bestimmen. Dafür verwendest du jeweils die Zylinderformel V=r2πhV = r^2\cdot\pi\cdot h und die Beziehung d=r2d = \frac{r}2:
VZylinder mit Durchmesser d1=(d12)2πh=(7,52)2π15  cm3663  cm3=0.663  l\displaystyle V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d1}} = (\frac{d1}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{7,5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3}\approx 663 \;\mathrm{cm^3} = 0.663 \;\mathrm{l}
VZylinder mit Durchmesser d2=(d22)2πh=(4,52)2π15  cm3239  cm3=0.239  l\displaystyle V_{\text{Zylinder mit Durchmesser d2}} = (\frac{d2}{2})^2\cdot \pi\cdot h = (\frac{4,5}{2})^2\cdot \pi\cdot 15 \;\mathrm{cm^3} \approx 239 \;\mathrm{cm^3} = 0.239\;\mathrm{l}

Volumen Weißbierglas

Für das Volumen des Weißbierglases bis zur Eichmarkierung gilt also:
0.239  lVWeißbierglas0.663  l\displaystyle 0.239 \;\mathrm{l} \leq V_{\text{Weißbierglas}} \leq 0.663 \;\mathrm{l}
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malte5101 2017-02-28 08:03:23+0100
Die Aufgaben sind super Klasse aber manche Fachbegriffe sollten besser erklärt werden aber sonst feier ich sdiese Seite ohne End
Renate 2017-02-28 10:18:14+0100
Danke für dieses positive Feedback! :) :)
Renate 2017-02-28 10:23:06+0100
Welche Fachbegriffe meinst du denn konkret? Vielleicht könntest du es zu den jeweiligen Aufgaben als Kommentar dazu schreiben - oder hier einfach gesammelt als Antwort in dieser Diskussion.

Ich freu mich jedenfalls darauf, wenn wir gemeinsam Serlo NOCH besser machen können!
Gruß
Renate
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