Eine Bestellung für 500500 Eisenkugeln liegt vor. Jede Kugel soll einen Durchmesser von 1  cm1\; \text{cm} haben. Wieviel Eisen braucht der Hersteller? Und könntest du das Eisenstück heben, woraus die Kugeln gegossen werden, wenn du 10  kg10 \;\text{kg} heben kannst? (Dichte von Eisen: 7,86  gcm37,86 \;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}). Runde auf zwei Nachkommastellen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel

Berechne zuerst das Volumen einer der Kugeln. Multipliziere dieses mit 500500, dann hast Du das Volumen aller 500500 Kugeln. Berechne zum Schluss das Gewicht dieser 500500 Kugeln mithilfe der Formel für die Dichte und beantworte damit die Fragen aus dem Text.

Berechnung des Volumens.

Die Formel für das Volumen einer Kugel lautet:
VKugel=43r3π\displaystyle V_{Kugel} = \frac{4}{3}\cdot r^3 \cdot \pi
wobei rr der Radius der Kugel ist. In dieser Aufgabe ist der Radius r=0,5cm r = 0,5\text{cm}, da der Durchmesser 1cm1\text{cm} beträgt und der Radius immer die Hälfte des Durchmessers ist. Das heißt das Volumen einer einzelnen Kugel ist:
VKugel=43r3π=430,53cm3π=π6cm3.\displaystyle V_{Kugel} = \frac{4}{3}\cdot r^3 \cdot \pi = \frac{4}{3}\cdot 0,5^3\text{cm}^3 \cdot \pi = \frac{\pi}{6} \text{cm}^3.

Beachte: Nur das Endergebnis wird auf zwei Nachkommastellen gerundet. Die Zwischenergebnisse dürfen nicht gerundet werden, da sonst das Ergebnis verfälscht wird. Das heißt, du musst, auch wenn es komisch aussieht, mit dem Wert π6cm3\frac{\pi}{6}\text{cm}^3 weiterrechnen. Wenn du in dieser Aufgabe jedes Zwischenergebnis runden würdest, kämst du am Ende auf 2,04kg2,04 \text{kg} statt 2,06kg2,06 \text{kg}.
Damit kannst du nun das Volumen aller 500500 Kugeln berechnen:
Valle  Kugeln=500VKugel=500π6cm3=500π6cm3\displaystyle V_{alle\;Kugeln}=500\cdot V_{Kugel}=500\cdot\frac{\pi}{6}\text{cm}^3 = \frac{500\pi}{6}\text{cm}^3


Berechnung der Masse und Beantwortung der Fragen

Du kennst jetzt sowohl das Volumen der Kugeln (V=500π6cm3V = \frac{500\pi}{6}\text{cm}^3) als auch die Dichte von Eisen (ρ=7,86  gcm3\rho = 7,86 \;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}) . Mit der Formel für die Dichte kannst du nun die Masse mm des benötigten Eisens berechnen:
ρ=mV\displaystyle \rho = \frac{m}{V}
Du kannst jetzt nach der Masse auflösen, indem du mit VV multiplizierst:
m=ρV\displaystyle m = \rho \cdot V
Und nun setzt du die gegebenen Werte ein:
m=7,86gcm3500π6cm3=2057,743g2,06kg.\displaystyle m = 7,86\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot \frac{500\pi}{6} \text{cm}^3 = 2057,743\ldots \text{g} \approx 2,06 \text{kg}.
1000g1000 \text{g} entsprechen 1kg1\text{kg}. Daher gilt:
2057,743g=2,057743kg\displaystyle 2057,743\ldots \text{g} = 2,057743\ldots \text{kg}
Du musst das Komma also um drei Stellen nach links verschieben. Mehr dazu findest du im Artikel zur Umrechnung von Masseeinheiten.
Damit kannst Du die beiden Fragen aus dem Text beantworten:
  • Der Hersteller braucht 2,06kg2,06 \text{kg} Eisen
  • Ja, du könntest das eingeschmolzene Stück Eisen hochheben, da es genauso viel wie die 500500 Kugen wiegt. Es wiegt also weniger als 10kg10 \text{kg}.