Aufgaben
Finde Beispiele für Objekte, die ungefähr zylinderförmig sind, zum Beispiel Gegenstände aus dem Alltag, der Technik, der Natur oder der Architektur.

Zylinder

Beispiele für Gegenstände, die ungefähr die Form eines Zylinders haben:
Mülleimer

Benzinfass
Plakatsäule

Der Durchmesser des Mülleimers ist 30 cm und die Höhe ist 60 cm (ohne den Deckel). Wie groß ist das Volumen?

Zylinder

V=r2πhV=r^2 \cdot \pi \cdot h
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinders.
Die Höhe 60 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser.
r=d:2=30cm:2=15cmr= d:2= 30\, \text{cm} :2 = 15\, \text{cm}
Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
V=(15cm)2π60cmV=(15\, \text{cm})^2 \cdot \pi \cdot 60\,\text{cm}
Das rechnest du aus,
=13500π cm3=13\, 500 \cdot \pi\ \text{cm}^3
=42411,5008.cm3= 42\,411,5008….\, \text{cm}^3
und rundest das Ergebnis.
42412cm3\approx 42\,412\, \text{cm}^3


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

V=r2πhV=r^2\cdot\mathrm{\pi}\cdot\mathrm{h}
Das ist die Formel für das Volumen eines Zylinder. Die Höhe 8 cm ist in der Aufgabe angegeben, den Radius berechnest du aus dem Durchmesser. Nun kannst du in die Volumenformel einsetzen.
V=(3,5  cm)2  π    8  cmV=(3,5\;\mathrm{cm})^2\cdot\;\mathrm\pi\;\cdot\;8\;\mathrm{cm}
      =  98π  cm3\;\;\;=\;98\cdot\mathrm\pi\;\mathrm{cm}^3
      =  307,608  cm3\;\;\;=\;307,608…\;\mathrm{cm}^3
            308  cm3\;\;\;\;\;\approx\;308\;\mathrm{cm}^3
Gegeben ist ein Zylinder mit einem Durchmesser von 8m8m und einer Höhe von 5m5m.
Berechne das Volumen, die Mantelfläche und die Oberfläche des Zylinders.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines Zylinders

Der Radius rr ist halb so lang wie der Durchmesser, also gilt r=4 mr=4\ \text{m}.
V=r2πhM=2rπhO=2r2π+2rπh\begin{array}{l}V=r^2\mathrm{πh}\\\mathrm M=2\mathrm{rπh}\\\mathrm O=2\mathrm r^2\mathrm\pi+2\mathrm{rπh}\end{array}
V=r2πh=(4m)23,145m=16m23,145m=251,2m3V=r^2\mathrm{πh}=(4\mathrm m)^2\cdot3,14\cdot5\mathrm m=16\mathrm m^2\cdot3,14\cdot5\mathrm m=251,2\mathrm m^3
M=2rπh=2(4m)3,145m=8m3,145m=125,6m2M=2r\mathrm{πh}=2(4\mathrm m)\cdot3,14\cdot5\mathrm m=8\mathrm m\cdot3,14\cdot5\mathrm m=125,6\mathrm m^2
O=2r2π+2rπh=2(4m)23,14+24m3,145mO=2r^2\mathrm\pi+2\mathrm{rπh}=2(4\mathrm m)^2\cdot3,14+2\cdot4\mathrm m\cdot3,14\cdot5\mathrm m
%%=25,12\mathrm m^2+125,60\mathrm m^2=150,72\mathrm m^2%%
Das Volumen des Zylinders beträgt 251,2m3251,2m^3, die Mantelfläche 125,6m2125,6m^2 und die Oberfläche 150,72m2150,72m^2.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Oberfläche eines Zylinders

O=2r2π+2rπh2r2πO=2r^2\mathrm\pi+2\mathrm{rπh} \quad | -2r^2\mathrm\pi
O2r2π=2rπh:2rπO-2r^2\mathrm\pi=2\mathrm r\mathrm\pi\mathrm h \quad | :2r\mathrm\pi
h=O2r2π2rπh=\cfrac{O-2r^2\mathrm\pi}{2r\mathrm\pi}
h=150,72293,14233,14=150,7256,5218,84=94,218,84=5h=\dfrac{150,72-2\cdot9\cdot3,14}{2\cdot3\cdot3,14}=\dfrac{150,72-56,52}{18,84}=\dfrac{94,2}{18,84}=5
Die Höhe des Zylinders beträgt 5cm5cm.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders ist:
VZyl=πr2h\displaystyle V_{\mathrm{Zyl}} = \pi r^2 \cdot h
Da der Durchmesser gegeben ist, musst du den Radius daraus erechnen, wie folgt:
d=2rr=12dr=126,7cm=3,35cm\displaystyle \begin{array}{rcl} d = 2r \Rightarrow r &=& \dfrac{1}{2}d \\\\ r &=& \dfrac{1}{2} \cdot 6,7 \mathrm{cm} = 3,35 \mathrm{cm} \end{array}
Nun kannst du die Werte in die Formel einsetzen, um das Volumen zu berechnen.
VZyl=πr2hVZyl=π(3,35cm)216,8cmVZyl=592cm2\displaystyle \begin{array}{rcl} V_{\mathrm{Zyl}} &=& \pi r^2 \cdot h \\ V_{\mathrm{Zyl}} &=& \pi \cdot (3,35 \,\mathrm{cm})^2 \cdot 16,8 \,\mathrm{cm} \\ V_{\mathrm{Zyl}} &=& 592 \,\mathrm{cm}^2 \end{array}
Daraus folgt, dass das Volumen des Zylinders 592cm2592 \,\mathrm{cm}^2 beträgt.
Ein zylinderförmiger Lautsprecher hat eine Höhe von h=18cmh = 18 \,\mathrm{cm}. Der Radius beträgt r=3,75cmr = 3,75 \,\mathrm{cm}. Berechne das Volumen.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zylinder

VZyl=πr2h\displaystyle V_{\mathrm{Zyl}} = \pi r^2 \cdot h
In diese Formel setzt du nun die gegebnen Werte ein.
VZyl=πr2hVZyl=π(3,75cm)218cmVZyl795cm3\displaystyle \begin{array}{rcl} V_{\mathrm{Zyl}} &=& \pi r^2 \cdot h \\ V_{\mathrm{Zyl}} &=& \pi \cdot (3,75 \,\mathrm{cm})^2 \cdot 18 \,\mathrm{cm} \\ V_{\mathrm{Zyl}} &\approx& 795 \,\mathrm{cm^3} \end{array}
Daraus folgt, dass das Volumen des Zylinders ca. 795cm3795 \,\mathrm{cm^3} beträgt.
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