Aufgaben

Berechne mit den gegebenen Informationen das Volumen der Kugel.

Umfang 7cm

Umfang %%U=7\,\mathrm{cm}%%

Stelle die Formel für den Umfang der Kugel auf.

%%U=2\cdot r\cdot\mathrm\pi%%

%%\left|:2\mathrm\pi\right.%%

%%r=\frac{\mathrm U}{2\cdot\mathrm\pi}%%

Setze den Umfang ein.

%%r=\frac{7\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}%%

%%\approx1,114\,\mathrm{cm}%%

Stelle die Formel für das Volumen der Kugel auf und setze den gefundenen Radius %%r%% ein.

%%V=\frac43\cdot\left(\frac{7\mathrm{cm}}{2\cdot\mathrm\pi}\right)^3\cdot\mathrm\pi%%

%%=\frac{7^3}{6\cdot\pi^2}\,\mathrm{cm^3}%%

%%\approx5,792\,\mathrm{cm^3}%%

Oberfläche %%10\mathrm{cm}^2%%

Oberfläche %%O=10\mathrm{cm}^2%%

Stelle die Formel für die Oberfläche der Kugel auf.

%%O=4r^2\mathrm\pi%%

%%\left|:4\mathrm\pi\right.%%

%%r^2=\frac{\mathrm O}{4\mathrm\pi}%%

%%r=\sqrt{\frac{\mathrm O}{4\mathrm\pi}}%%

Setze die Oberfläche ein.

%%r=\sqrt{\frac{10\mathrm{cm}^2}{4\mathrm\pi}}%%

%%\approx0,8921\,\mathrm{cm}%%

Stelle nun die Formel für das Volumen einer Kugel auf und setze den gefundenen Radius %%r%% ein.

%%V=\frac43\cdot\left(\sqrt{\frac{5\mathrm{cm}^2}{2\mathrm\pi}}\right)^3\cdot\mathrm\pi%%

%%=\frac{5{\sqrt{\frac{10}\pi}}}3\mathrm{cm^3}%%

%%\approx2,974\mathrm{cm^3}%%

Der Durchmesser einer Murmel ist %%42 \text{ mm}%%. Wie groß ist ihr Volumen?

Murmel

%%V=\dfrac{4}{3}r^3\pi%%

Das ist die Volumenformel der Kugel.

Den Radius %%r%% kannst du aus dem Durchmesser berechnen.

%%r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{42}{2}\text{ mm}= 21 \text{ mm}%%

Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.

%%V=\dfrac{4}{3}\cdot(21\text{ mm})^3\cdot\pi%%

Wenn du das ausrechnest, erhältst du:

%%=\dfrac{4}{3}\cdot9261\cdot\pi \text{ mm}^3%%

%%=12348\cdot\pi\cdot\text{ mm}^3%%

%%=38792,386…\text{ mm}^3%%

Zum Schluss rundest du noch.

%%\approx 38792 \text{ mm}^3%%

Du kannst das Ergebnis auch in Kubikzentimeter (%%\text{cm}^3%%) schreiben.

%%=38,792 \text{ cm}^3%%

Sandra ist mit ihren Freundinnen am Strand, und sie möchten mit dem Wasserball spielen.

Wie viel Liter Luft muss Sandra in den Ball blasen, damit er einen Durchmesser von %%50\,\text{cm}%% hat?

Wasserball

Kugel

Thema dieser Aufgabe ist die Volumenberechnung bei einer Kugel.

Der Ball ist eine Kugel mit Durchmesser %%d=50\,\text{cm}%%. Gesucht ist die Menge an Luft, die Sandra hineinbläst, also das Volumen der Kugel.

%%V=\dfrac{4}{3}r^3\pi%%

Das ist die Volumenformel der Kugel.

Den Radius %%r%% kannst du aus dem Durchmesser %%d%% berechnen.

%%r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{50}{2}\,\text{cm}=25\,\text{cm}%%

Jetzt kannst du den Radius in die Volumenformel einsetzen.

%%V=\dfrac{4}{3}\cdot(25\,\text{cm})^3\cdot\pi%%

Wenn du das ausrechnest, erhältst du:

%%=\dfrac{4}{3}\cdot15625\,\text{cm}^3\cdot\pi%%

%%=\dfrac{62500}{3}\cdot\pi\text{ cm}^3%%

%%= 65449,846…\text{ cm}^3%%

Anschließend rundest du noch.

%%\approx 65450\text{ cm}^3%%

Zum Schluss rechnest du das Ergebnis in Kubikdezimenter (und damit in Liter) um.

%%=65,45 \text{ dm}^3%%

%%=65,45 \text{ l}%%

Antwort: Sandra muss %%65,45\,\text{l}%% Luft in den Ball blasen.

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