Berechne die fehlenden Seiten und Winkel des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit %%a=b%%. Beachte, dass wir allgemeine gleichschenklige Dreiecke betrachten, die nicht unbedingt rechtwinklig sind.

Zu text-exercise-group 11369:
Nish 2019-01-13 17:05:54+0100
Bitte die Lösungen aller Teilaufgaben bei Gelegenheit nach den neuen Richtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeiten.

LG,
Nish
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a=44,2cm

c=63,4cm

geg: a=b= 44,2cm  c=63,4cm

ges: h, %%\alpha,\;\beta,\;\gamma%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Zunächst %%x%% berechnen.

%%x=\frac c2%%

 

%%x=\frac{63,4cm}2=31,7cm%%

%%h%% berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck %%\triangle{DBC}%% den Satz des Pythagoras anwendet.

%%h=\sqrt{a^2-x^2}%%

Bekannte Werte einsetzen.

%%h=\sqrt{\left(44,2cm\right)^2-\left(31,7cm\right)^2}%%

Zunächst quadrieren.

%%h=\sqrt{1953,64cm^2-1004,89cm^2}%%

%%h=\sqrt{948,75cm^2}%%

Wurzel ziehen.

%%h=30,8cm%%

%%\alpha%% mit Hilfe von Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Werte einsetzen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac{30,8cm}{44,2cm}%%

Mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\alpha=44,2^\circ=\beta%%, da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck mit %%a=b%% handelt.

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot44,2^\circ%%

%%\gamma=91,6^\circ%%

  %%\Rightarrow%% %%h=30,8cm;\alpha=\beta=44,2^\circ;\gamma=91,6^\circ%%

Achtung: Das Dreieck %%ABC%% ist kein rechtwinkliges Dreieck, da kein Winkel %%90°%% groß ist.

a=114,5m

%%\alpha%% =32,3°

geg: %%a=b= 114,5\,m%%  %%\alpha=\beta%% =32,3°

ges: %%c%%, %%h%%, %%\gamma%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Da die Basiswinkel in einem gleischenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot32,3^\circ=115,4^\circ%%

 

%%h%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Nach %%h%% umstellen und Werte einsetzen.

%%h=114,5m\cdot\sin\left(32,3^\circ\right)%%

%%h=61,2m%%

%%x%% berechnen, indem man in dem rechtwinkligen Dreieck %%\triangle{DBC}%% den Satz des Pythagoras anwendet.

%%x=\sqrt{a^2-h^2}%%

Bekannte Werte einsetzen.

%%x=\sqrt{\left(114,5m\right)^2-\left(61,2m\right)^2}%%

Zunächst quadrieren.

%%x=\sqrt{13110,25m^2-3745,44m^2}%%

%%x=\sqrt{9364,81m^2}%%

Wurzel ziehen.

%%x=96,8cm%%

 

 

%%c%% berechnen, indem man die Seite %%x%% verdoppelt, dann die Höhe %%h%%, %%c%% in der Mitte teilt, so dass man %%2%% gleich lange Strecken %%x%% bekommt.

%%c=2\cdot96,8m=193,6m%%

  %%\Rightarrow%% %%h=61,2\,m; c=193,6\,m;\gamma=115,4^\circ%%

c=35,4cm

%%\beta%% =43,9°

Sinus, Cosinus und Tangens

geg: c=35,4cm  %%\beta=\alpha%% =43,9°

ges: a, b, h, %%\gamma%% , x

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Geogebra File: /uploads/legacy/5310_IjxY3uHftI.xml

Da die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot43,9^\circ=92,2^\circ%%

 

x berechnen, indem man die Seite c halbiert.

%%x=\frac{35,4cm}2=17,7cm%%

a mit Hilfe des Cosinus berechnen.

%%\cos\left(\beta\right)=\frac xa%%

Nach a umstellen und Werte einsetzen.

%%a=\frac{17,7cm}{\cos\left(43,9^\circ\right)}%%

%%a=24,6cm%%

h mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach h umstellen und Werte einsetzen.

%%h=17,7cm\cdot\tan\left(43,9^\circ\right)%%

%%h=17,0cm%%

  %%\Rightarrow\;\;%% %%\alpha=43,9^\circ;\;\gamma=92,2^\circ;\;a=b=24,6cm;\;h=17,0cm\;%%

h=14,8cm

%%\alpha=\beta=%% 28,3°

Geg.: %%h=14,8cm%%; %%\alpha=\beta= 28,3^\circ%%

Ges.: %%\beta,\gamma,c, b, a%%

Zeichne zur Verdeutlichung eine Skizze.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

Da die Basiswinkel (hier: %%\alpha%% und %%\beta%%) in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, und alle Innenwinkel insgesamt 180° ergeben (d.h. %%\alpha+\beta+\gamma=180^\circ%%), kannst %%\gamma%% mit dieser Information direkt ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot28,3^\circ=123.4^\circ%%

%%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{14,8cm}{\tan\left(28,3^\circ\right)}%%

%%x=27,5cm%%

%%c%% erhälst du, indem du die Seite %%x%% verdoppelst (siehe Skizze).

%%c=2\cdot27,5cm%%

%%c=55cm%%

%%b%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\alpha\right)=\frac hb%%

Nach %%b%% umstellen und Werte einsetzen.

%%b=\frac{14,8cm}{\sin\left(28,3^\circ\right)}%%

%%b=31,2cm%%

Da es sich hier um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, ist die Seitenlänge %%a%% gerade gleich der Seitenlänge %%b%%.

  %%\Rightarrow\;\;%% %%\gamma=123,4^\circ;\;c=55cm;\;a=b=31,2cm%%

a=146,4m

h=58,4m

geg: %%a=b=146,4 \, m%%; %%h=58,4\, m%%

ges: %%c%%, %%\gamma,\;\alpha,\;\beta%% , %%x%%

Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.

Skizze des Dreiecks mit den zu bestimmenden Größen

%%\beta%% mit Hilfe des Sinus berechnen.

%%\sin\left(\beta\right)=\frac ha%%

Werte einsetzen und mit Hilfe des Taschenrechners %%\alpha%% berechnen.

%%\beta=23,5^\circ%%

Da die Basiswinkel in einem gleischenkligen Dreieck gleich sind, und alle Innenwinkel insgesamt %%180^\circ%% ergeben, %%\gamma%% ausrechnen.

%%\gamma=180^\circ-2\cdot23,5^\circ=133^\circ%%

%%x%% mit Hilfe des Tangens berechnen.

%%\tan\left(\beta\right)=\frac hx%%

Nach %%x%% umstellen und Werte einsetzen.

%%x=\frac{58,4m}{\tan\left(23,5^\circ\right)}%%

%%x=134,3m%%

 

%%c%% berechnen, indem man die Seite %%x%% verdoppelt, dann die Höhe %%h%%, %%c%% in der Mitte teilt, so dass man %%2%% gleich lange Strecken %%x%% bekommt.

%%c=2\cdot134,3m=268,6m%%

  %%\Rightarrow\;\;%% %%b=146,4m;\;\alpha=\beta=23,5^\circ;\;\gamma=133^\circ;\;c=268,5m%%