Der Sinus- und der Kosinussatz stellen Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in beliebigen Dreiecken her.

Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten  %%a%%%%b%%%%c%%  und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln  %%\alpha%%, %%\beta%%, %%\gamma%% gilt:

Sinussatz

$$\frac{\mathrm a}{\sin\left(\mathrm\alpha\right)}=\frac{\mathrm b}{\sin\left(\mathrm\beta\right)}=\frac{\mathrm c}{\sin\left(\mathrm\gamma\right)}.$$

Kosinussatz

  • %%\mathrm c^2=\mathrm a^2+\mathrm b^2-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(\mathrm\gamma\right)%%

  • %%\mathrm b^2=\mathrm a^2+\mathrm c^2-2\mathrm{ac}\cdot\cos\left(\mathrm\beta\right)%%

  • %%\mathrm a^2=\mathrm b^2+\mathrm c^2-2\mathrm{bc}\cdot\cos\left(\mathrm\alpha\right)%%

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6492_iZV9VMFFJJ.xml

Alternative Formulierung des Sinussatzes

Durch Umformungen kann man den Sinussatz auch auf folgende Formen bringen:

$$\frac{\sin\left(\mathrm\alpha\right)}{\mathrm a}=\frac{\sin\left(\mathrm\beta\right)}{\mathrm b}=\frac{\sin\left(\mathrm\gamma\right)}{\mathrm c}.$$

$$\frac{\mathrm a}{\mathrm b}=\frac{\sin\left(\mathrm\alpha\right)}{\sin\left(\mathrm\beta\right)}$$

$$\frac{\mathrm a}{\mathrm c}=\frac{\sin\left(\mathrm\alpha\right)}{\sin\left(\mathrm\gamma\right)}$$

$$\frac{\mathrm b}{\mathrm c}=\frac{\sin\left(\mathrm\beta\right)}{\sin\left(\mathrm\gamma\right)}$$

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes

Für %%\gamma=90^\circ%% erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt  %%\cos(90^\circ)=0%%. Damit ist der Satz des Pythagoras %%c^2=a^2+b^2%%  ein Spezialfall des Kosinussatzes.

Beispiel

Im Dreieck %%ABC%% seien die Werte  %%a=6,10, \mathrm\alpha=45^\circ,\beta=55^\circ%%  und damit auch %%\gamma=80^\circ%% gegeben. 

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6534_HjoYFV5sL9.xml

Berechne zuerst mit Hilfe des Sinussatzes die Länge der Seite %%b%%  :

$$\frac{\mathrm a}{\sin(\mathrm\alpha)}=\frac{\mathrm b}{\sin\left(\beta\right)}$$

Setze die bekannten Werte ein.

$$\frac{6,1}{\sin\left(45^\circ\right)}=\frac{\mathrm b}{\sin\left(55^\circ\right)}$$

Löse nach  %%b%%  auf.

$$\Rightarrow b=\frac{6,1\cdot\sin(55^\circ)}{\sin(45^\circ)}=7,1$$

Berechne nun mit Hilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite %%c%%:

$$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot\cos\left(\gamma\right)}$$

Setze die Werte ein.

$$=\sqrt{6,1^2+7,1^2-2\cdot6,1\cdot7,1\cdot\cos\left(80^\circ\right)}=8,5$$

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Hallo Leute !
ich finde die Seite sehr hilfreich, das wollte ich mal loswerden :)
Ist es eventuell noch möglich, dass sie bei diesem Themengebiet (Sinussatz,Cossinussatz) noch paar Beispiele reinstellen könnten ?
Nish 2017-06-02 20:51:00
Hallo Yusuf_A,

vielen Dank für dein positives Feedback! Das freut und motivert uns alle zugleich sehr!

Ich habe deinen Wunsch aufgenommen und wir versuchen das Thema nächste Woche anzupacken und mehr Aufgaben und Beispiele zu erstellen!
Falls es dringend sein sollte, gib hier Bescheid und wir versuchen unser Bestes.

LG,
Nish
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