Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Objekten, wie zum Beispiel Zahlen. Mithilfe von Matrizen können z.Bsp. lineare Gleichungssysteme visualisiert und gelöst werden.

Aufbau

Matrix

Eine Matrix der linksstehenden Form hat %%m%% Zeilen und %%n%% Spalten und daher %%m\cdot n%% Elemente.

Aufstellen einer Matrix

Eine Matrix ist eine Anordnung von Vektoren in Zeilen oder Spalten.

Beispiel

Bei einer Familie gibt es Fleischbällchen und Karotten zum Essen. Man schreibt dies in einen Vektor, indem man die Anzahl an Fleischbällchen für eine Person nach oben und die nötigen Karotten nach unten schreibt.

Ein Erwachsener isst %%\color{brown}{7}%% Fleischbällchen und %%\color{orange}{3}%% Karotten: %%\begin{pmatrix} \color{brown}{ 7} \\ \color{orange}{3} \end{pmatrix}%%.

Ein Kind isst %%\color{brown}{6}%% Fleischbällchen und %%\color{orange}{4}%% Karotten: %%\begin{pmatrix} \color{brown}{6} \\\color{orange}{ 4} \end{pmatrix}%%.

Daraus ergibt sich die Matrix %%A=\begin{pmatrix} \color{brown}{7} & \color{brown}{6} \\ \color{orange}{3} & \color{orange}{4} \end{pmatrix}%%.

Dabei wurde der Vektor für die Erwachsenen in die erste und der Vektor für die Kinder in die zweite Spalte geschrieben.

Matrix-Vektor-Multiplikation

Eine %%2 \times 2%%-Matrix %%A%% kann man wie folgt mit einem Spaltenvektor %%x%% multiplizieren:

%%A \cdot x=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11}\cdot x_1+a_{12}\cdot x_2 \\a_{21}\cdot x_1+a_{22}\cdot x_2 \end{pmatrix}%%

Beispiel

Man betrachtet wieder das Beispiel der Familie beim Essen: Die Familie besteht aus %%\color{blue}{2}%% Erwachsenen und %%\color{green}{5}%% Kindern. Diese kann man auch als Vektor darstellen: %%x=\begin{pmatrix} \color{blue}{2} \\ \color{green}{5} \end{pmatrix}%%.


Um zu berechnen, wieviele Fleischbällchen bzw. Karotten die Familie benötigt, kann man die Matrix %%A%% von oben mit dem Vektor %%x%% multiplizieren.

Man erhält also %%A \cdot x=\begin{pmatrix} \color{brown}{7} & \color{brown}{6} \\ \color{orange}{3} & \color{orange}{4} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{blue}{2} \\ \color{green}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{brown}{7} \cdot \color{blue}{2} + \color{brown}{6} \cdot \color{green}{5} \\\color{orange}{3} \cdot \color{blue}{2} + \color{orange}{4} \cdot \color{green}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{brown}{44} \\ \color{orange}{26} \end{pmatrix}%%.

Man benötigt daher %%\color{brown}{44}%% Fleischbällchen und %%\color{orange}{26}%% Karotten, damit die ganze Familie satt wird.

Allgemein multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor auf diese Weise.

Vorgehensweise am Applett

Aufgaben

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