Die Parallelverschiebung ist eine Abbildung, die jeden Punkt PP entlang eines Verschiebungsvektor v=(vxvy)\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} in dieselbe Richtung und um dieselbe Länge verschiebt.

Abbildungsgleichung der Parallelverschiebung

Parallelverschiebung
Anschaulich addiert man den Vektor v\vec{v}, um den man verschieben möchte, zum Ortsvektor OP\vec{OP}.
Somit ergibt sich %%\vec{OP'}=\vec{OP}+\vec{ v}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}%%.
Koordinatenform:
x=x+vxx'= x+v_x

Matrixform:
(xy)=(1001)(xy)+(vxvy)\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 &0\\0& 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}

Beispiel

Verschiebe den Punkt P(32)P(3|2) um den Vektor v=(53)\vec{v}=\begin{pmatrix}-5 \\3\end{pmatrix}.
Parallelverschiebung
Koordinatenform:

x=x+vx=3+(5)=2x'=x+v_x=3+(-5)=-2
y=y+vy=2+3=5y'=y+v_y=2+3=5

Matrixform:

(xy)=(1001)(xy)+(vxvy)=(1001)(32)+(53)=(32)+(53)(xy)=(25)\begin{array}{ll}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}1& 0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}1& 0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\3\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-5\\3\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}\end{array}

Damit hat der Bildpunkt PP' die Koordinaten P(25)P'(-2|5).
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