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Aufgaben zu Äquivalenzrelationen

1

Betrachte die Relation "x\sf x und y\sf y besitzen dieselbe ISB-Nummer" auf der Grundmenge aller bisher gedruckten Buchexemplare.

Welche Eigenschaften besitzt diese Relation?

2

Was muss man machen, wenn man entscheiden will, ob eine Relation eine Äquivalenzrelation ist oder nicht?

3

Entscheide, welche der folgenden Relationen eine Äquivalenzrelation ist:

a

x\sf x und y\sf y gehen in dieselbe Klasse“ auf der Menge aller Schüler einer Schule

b

xy\sf x \ge y“ auf der Menge Z\sf \mathbb{Z} der ganzen Zahlen

c

x\sf x und y\sf y sind ungerade“ auf der Menge N1\sf \mathbb{N}_{\ge1}

d

x\sf x und y\sf y besitzen denselben Rest bei der Division durch zwei“ auf der Menge N1\sf \mathbb{N}_{\ge1}

e

x=y\sf x=y“ auf einer beliebigen, nicht-leeren Grundmenge M\sf M \ne \emptyset

4

Wie viele lineare Äquivalenzrelationen auf einer Grundmenge M\sf M gibt es?

5

Beschreibe, wie die Äquivalenzklassen der folgenden Äquivalenzrelationen aussehen:

a

x\sf x und y\sf y gehen in dieselbe Klasse“ auf der Menge aller Schüler einer Schule

b

x\sf x und y\sf y besitzen denselben Rest bei der Division durch zwei“ auf der Menge N1\sf \mathbb{N}_{\ge1}

c

x=y\sf x=y“ auf einer beliebigen, nicht leeren Grundmenge M\sf M\ne \emptyset

6

Beweise die folgenden Sätze:

a

Sei R\sf R eine Äquivalenzrelation auf der Grundmenge M\sf M. Dann ist die Menge aller Äquivalenzklassen M/R:={[x]RxM}\sf {M/{\sim_R}}:= \{ [x]_R\,|\,x\in M\} eine Zerlegung der Grundmenge.

b

Sei M\sf M eine Menge und P\sf P eine Zerlegung dieser Menge. Dann gibt es genau eine Äquivalenzrelation \sf \sim, die diese Zerlegung induziert, für die also M/=P\sf M/{\sim}=P ist. Diese Äquivalenzrelation ist definiert durch:

xy:AP:x,yA\sf x\sim y :\Leftrightarrow \exists A\in P: x,y\in A

7

Sei M\sf M eine Menge und P\sf P eine Zerlegung dieser Menge. Es sei die Relation \sf \sim durch die folgende Eigenschaft definiert:

Beweise die folgenden Aussagen:

a

\sf \sim ist eine Äquivalenzrelation

b
c

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