Sei g:RRg:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,xmx+tx\mapsto m\cdot x+t mit m,tRm,t\in \mathbb {R}. Zeige: gg ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn t=0t=0.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Abbildungen

Beweischschrit: Wenn gg linear ist, ist t=0t=0.

Sei zunächst gg eine lineare Abbildung. Weil lineare Abbildungen den Ursprung auf den Ursprung abbilden, muss g(0)=0g(0)=0 gelten. Nun ist g(0)=tg(0)=t und damit muss t=0t=0 sein.

Beweisschritt: Wenn t=0t=0 ist, ist gg linear.

Sei nun t=0t=0. Wir zeigen g:RRg:\mathbb {R} \to \mathbb {R} , xmxx\mapsto m\cdot x ist linear:

Beweisschritt: Additivität

Seien xx und yy zwei beliebige reele Zahlen. Es ist
g(x+y)g(x+y)==m(x+y)m\cdot (x+y)
Definition von gg
==mx+mym\cdot x + m\cdot y
Distributivgesetz
==g(x)+g(y)g(x) + g(y)
Definition von gg

Beweisschritt: Homogenität

Sei xx und λ\lambda zwei reele Zahlen. Es ist
g(λx)g(\lambda\cdot x)==m(λx)m\cdot (\lambda\cdot x)
Definition von gg
==mλxm\cdot \lambda\cdot x
==λ(mx)\lambda\cdot\left(m\cdot x\right)
Definition von gg
==λg(x)\lambda\cdot g(x)
Also ist gg genau dann eine lineare Abbildung, wenn t=0t=0 ist.